京都大学 2007年度理系数学第6問解答・解説

問題

$y = x e^{1 - x}$ と $y = x$ のグラフで囲まれた部分を $x$ 軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ．

出典：京都大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

交点は $x = 0$ と $x = 1$ で，閉じた領域はこの区間にある。 $0 < x < 1$ では $e^{1 - x} > 1$ なので $x e^{1 - x} > x$ となり，外側半径は $x e^{1 - x}$ ，内側半径は $x$ である。回転体の体積を2乗差の積分で表し， $\int_{0}^{1} x^{2} e^{2 - 2 x} d x$ は $e^{2} \int_{0}^{1} x^{2} e^{- 2 x} d x$ として部分積分を2回行う。最後に $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ を引く。

解答

2つのグラフの交点を求める。 $x e^{1 - x} = x$ より $x (e^{1 - x} - 1) = 0$ である。したがって $x = 0$ または $e^{1 - x} = 1$ であり，後者から $x = 1$ を得る。よって交点は $x = 0, 1$ である。 $0 < x < 1$ では $e^{1 - x} > 1$ だから $x e^{1 - x} > x$ である。したがって求める体積を $V$ とすると

V = π \int_{0}^{1} {(x e^{1 - x})^{2} - x^{2}} d x = π \int_{0}^{1} {x^{2} e^{2 - 2 x} - x^{2}} d x

である。

まず $I = \int_{0}^{1} x^{2} e^{2 - 2 x} d x = e^{2} \int_{0}^{1} x^{2} e^{- 2 x} d x$ を計算する。部分積分を用いると $\int x^{2} e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} x^{2} e^{- 2 x} + \int x e^{- 2 x} d x$ であり，さらに $\int x e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ である。したがって $\int x^{2} e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ である。よって

I = e^{2} [- \frac{1}{2} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x}]_{0}^{1} = e^{2} (- \frac{5}{4} e^{- 2} + \frac{1}{4}) = \frac{e ^{2} - 5}{4}

となる。また $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ であるから

V = π (\frac{e ^{2} - 5}{4} - \frac{1}{3}) = \frac{π ( 3 e ^{2} - 19 )}{12}

である。

京都大学 2007年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

京都大学 2007年度
理系数学第6問