京都大学 2007年度理系数学第4問解答・解説

問題

$△ A B C$ において， $∠ A$ の二等分線とこの三角形の外接円との交点で $A$ と異なる点を $A^{'}$ とする．同様に $∠ B$ ， $∠ C$ の二等分線とこの外接円との交点をそれぞれ $B^{'}$ ， $C^{'}$ とする．このとき3直線 $A A^{'}$ ， $B B^{'}$ ， $C C^{'}$ は1点 $H$ で交わり，この点 $H$ は三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ の垂心と一致することを証明せよ．

出典：京都大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

3本の直線 $A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}$ はもとの三角形の角の二等分線なので，まず内心 $H$ で交わる。次に $A^{'}$ は，外接円上で弧 $B C$ の中点になることを使う。同様に $B^{'}, C^{'}$ も対応する弧の中点である。弧の大きさを $∠ A, ∠ B, ∠ C$ で表し，円周角を用いて $A A^{'} ⊥ B^{'} C^{'}$ ， $B B^{'} ⊥ C^{'} A^{'}$ ， $C C^{'} ⊥ A^{'} B^{'}$ を示す。これにより，内心 $H$ が三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ の3本の高さの交点，すなわち垂心であると分かる。

解答

$∠ A = α, ∠ B = β, ∠ C = γ$ とおく。直線 $A A^{'}$ ， $B B^{'}$ ， $C C^{'}$ はそれぞれ $△ A B C$ の角の二等分線であるから，3直線は内心で交わる。この交点を $H$ とする。

まず， $A^{'}$ の位置を弧で見る。 $A A^{'}$ は $∠ A$ の二等分線なので $∠ B A A^{'} = ∠ C A A^{'}$ である。同じ円で等しい円周角が見込む弧は等しいから $B A^{'} ⌢ = A^{'} C ⌢$ である。したがって $A^{'}$ は， $A$ を含まない弧 $B C$ の中点である。同様に， $B^{'}$ は弧 $C A$ の中点， $C^{'}$ は弧 $A B$ の中点である。

このことから，円周上の弧は順に

A C^{'} ⌢ = C^{'} B ⌢ = γ, B A^{'} ⌢ = A^{'} C ⌢ = α, C B^{'} ⌢ = B^{'} A ⌢ = β

と表せる。ただし弧の大きさを角度で表している。

ここで $A A^{'} ⊥ B^{'} C^{'}$ を示す。円周角より $∠ A A^{'} C^{'} = \frac{1}{2} A C^{'} ⌢ = \frac{γ}{2}$ である。また $∠ A^{'} C^{'} B^{'} = \frac{1}{2} A^{'} B^{'} ⌢$ であり， $C^{'}$ を含まない弧 $A^{'} B^{'}$ は $A^{'} C ⌢ + C B^{'} ⌢ = α + β$ であるから

∠ A^{'} C^{'} B^{'} = \frac{α + β}{2} = \frac{18 0 ^{\circ} - γ}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{γ}{2}

である。したがって，直線 $A A^{'}$ と直線 $B^{'} C^{'}$ のなす角は $\frac{γ}{2} + (9 0^{\circ} - \frac{γ}{2}) = 9 0^{\circ}$ であり， $A A^{'} ⊥ B^{'} C^{'}$ が成り立つ。

同様に，頂点の文字を巡回させれば $B B^{'} ⊥ C^{'} A^{'}, C C^{'} ⊥ A^{'} B^{'}$ も成り立つ。

よって三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ において，直線 $A A^{'}$ は頂点 $A^{'}$ から辺 $B^{'} C^{'}$ に下ろした高さであり，直線 $B B^{'}$ は頂点 $B^{'}$ から辺 $C^{'} A^{'}$ に下ろした高さ，直線 $C C^{'}$ は頂点 $C^{'}$ から辺 $A^{'} B^{'}$ に下ろした高さである。これら3本はすべて点 $H$ を通る。

したがって $H$ は $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ の垂心である。

京都大学 2007年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

京都大学 2007年度
理系数学第4問