京都大学 2007年度理系数学第5問解答・解説

問題

$- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ とする．座標平面上で原点の周りに $\frac{π}{3}$ 回転する1次変換を $f$ とし，直線 $y = (tan α) x$ について対称移動する1次変換を $g$ とする．合成変換 $f \circ g$ が $x$ 軸について対称移動する1次変換と一致するとき， $α$ の値を求めよ．

出典：京都大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

原点中心の回転と原点を通る直線に関する対称移動なので，原点から出る半直線の偏角の変化で追う。角 $α$ の直線に関する対称移動は偏角 $θ$ を $2 α - h e t a$ に移し，その後 $\frac{π}{3}$ 回転すると $2 α - h e t a + \frac{π}{3}$ になる。これが $x$ 軸対称の $- θ$ とすべての $θ$ で一致する条件を解く。別解として，反射行列と回転行列を掛けて，得られる反射軸の角を比較してもよい。

解答

直線 $y = (tan α) x$ は， $x$ 軸となす角が $α$ の原点を通る直線である。この直線に関する対称移動 $g$ は，偏角 $θ$ の半直線を，直線の角 $α$ を中心に折り返すので $θ ⟼ 2 α - h e t a$ と表される。

その後，変換 $f$ によって原点の周りに $\frac{π}{3}$ だけ回転する。したがって合成変換 $f \circ g$ は $θ ⟼ 2 α - h e t a + \frac{π}{3}$ である。

一方， $x$ 軸に関する対称移動は $θ ⟼ - θ$ である。よって，すべての $θ$ について同じ変換になるためには $2 α + \frac{π}{3} \equiv 0 (mod 2 π)$ でなければならない。条件 $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ より $- π < 2 α < π$ であるから，この範囲で上の合同式を満たすのは $2 α + \frac{π}{3} = 0$ だけである。したがって $α = - \frac{π}{6}$ である。

別解。行列で確認する。角 $α$ の直線に関する対称移動は

G = (cos 2 α sin 2 α sin 2 α - cos 2 α)

であり， $\frac{π}{3}$ 回転は

R = (\frac{1}{2} \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \frac{1}{2})

である。したがって

R G = (cos (2 α + \frac{π}{3}) sin (2 α + \frac{π}{3}) sin (2 α + \frac{π}{3}) - cos (2 α + \frac{π}{3}))

となる。これが $x$ 軸対称の行列

(10 0 - 1)

に等しいためには

cos (2 α + \frac{π}{3}) = 1, sin (2 α + \frac{π}{3}) = 0

である。よって $2 α + \frac{π}{3} \equiv 0 (mod 2 π)$ となり，条件範囲から $α = - \frac{π}{6}$ を得る。

京都大学 2007年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

京都大学 2007年度
理系数学第5問