京都大学 2007年度理系数学第2問解答・解説

問題

$x$ ， $y$ を相異なる正の実数とする．数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} = x a_{n} + y^{n + 1}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ によって定めるとき， $n \to \infty lim a_{n}$ が有限の値に収束するような座標平面上の点 $(x, y)$ の範囲を図示せよ．

出典：京都大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

漸化式を展開して， $a_{n}$ を $x^{n - 1}$ と $y^{n - 1}$ の差で表す。 $x \neq = y$ なので等比数列の和を使える。 $x, y$ は正なので， $0 < x < 1$ なら $x^{n - 1} \to 0$ ， $x = 1$ なら一定， $x > 1$ なら発散する，という指数項の挙動で分類する。両方が1以下なら収束し，どちらか一方でも1を超えると大きい指数項が残って発散する。最後に問題条件 $x > 0, y > 0, x \neq = y$ を合わせて，単位正方形の内部と上・右辺から対角線を除いた範囲として図示する。

解答

漸化式 $a_{n + 1} = x a_{n} + y^{n + 1}, a_{1} = 0$ を順に展開する。 $n ≧ 2$ について

a_{n} = x^{n - 2} y^{2} + x^{n - 3} y^{3} + \dots + x y^{n - 1} + y^{n} = y^{2} (x^{n - 2} + x^{n - 3} y + \dots + x y^{n - 3} + y^{n - 2})

である。 $x \neq = y$ だから等比数列の和より $a_{n} = y^{2} \frac{x ^{n - 1} - y ^{n - 1}}{x - y}$ となる。この式は $n = 1$ でも右辺が0になるので，すべての $n ≧ 1$ で成り立つ。

まず $0 < x < 1, 0 < y < 1$ のときは $x^{n - 1} \to 0, y^{n - 1} \to 0$ であるから $a_{n} \to 0$ となり，有限の値に収束する。

次に境界を調べる。 $x = 1, 0 < y < 1$ のときは $a_{n} = y^{2} \frac{1 - y ^{n - 1}}{1 - y}$ であり， $a_{n} \to \frac{y ^{2}}{1 - y}$ となる。また $0 < x < 1, y = 1$ のときは $a_{n} = \frac{x ^{n - 1} - 1}{x - 1} = \frac{1 - x ^{n - 1}}{1 - x}$ であり， $a_{n} \to \frac{1}{1 - x}$ となる。したがってこれらの境界も含まれる。ただし問題の条件より $x = y$ は除く。

一方， $x > 1$ または $y > 1$ のときは収束しない。実際， $x > 1$ かつ $x > y$ なら $y^{2} \frac{x ^{n - 1} - y ^{n - 1}}{x - y}$ の中で $x^{n - 1}$ が残って正の無限大に発散する。 $y > 1$ かつ $y > x$ なら，分子と分母はともに負の向きで大きくなり，絶対値としては $y^{n - 1}$ が残って発散する。 $x > 1, y > 1$ の場合も， $x \neq = y$ なので大きい方の指数項が打ち消されずに残る。よって有限値には収束しない。

以上より，求める範囲は $0 < x ≦ 1, 0 < y ≦ 1, x \neq = y$ である。図示すれば，第1象限の正方形 $0 < x ≦ 1, 0 < y ≦ 1$ から，対角線 $y = x$ 上の点を除いた部分である。特に $(1, 1)$ は $x = y$ なので含まれない。

京都大学 2007年度理系数学 第2問

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理系数学第2問