京都大学 2004年度
後期・理系数学 第6問

解答

まず、条件(＊)を満たす正方形の向きを確認する。4頂点の座標がすべて整数で、1辺の長さが1であるとき、隣り合う2頂点の差は整数成分をもつ長さ1のベクトルである。そのようなベクトルは $(\pm 1,0),(0,\pm 1)$ に限られる。したがって、数える正方形は格子に平行な1辺1の単位正方形である。

条件(＊)を満たす正方形をすべて集め、その合併を $S_n$ とする。異なる格子単位正方形は内部が重ならず、各正方形の面積は1であるから、$S_n\text{ の面積}=N(n)$ である。

まず上から評価する。条件(＊)を満たす正方形は、4頂点がすべて $C_n$ に含まれる。円板 $C_n$ では、任意の2点を結ぶ線分も $C_n$ に含まれるので、4頂点が $C_n$ に入っていれば正方形全体も $C_n$ に含まれる。したがって $S_n\subset C_n$ であり、$N(n)\leqq \pi n^2$ である。

次に下から評価する。原点からの距離が $n-\sqrt{2}$ 以下の点 $P$ を任意に取る。この点 $P$ を含む格子単位正方形を1つ選ぶ。単位正方形の中の任意の点から任意の頂点までの距離は、高々対角線の長さ $\sqrt{2}$ である。したがって、その正方形の任意の頂点 $T$ について $OT\leqq OP+PT\leqq (n-\sqrt{2})+\sqrt{2}=n$ である。よってその正方形の4頂点はすべて $C_n$ に含まれ、その正方形は条件(＊)を満たす。

したがって、半径 $n-\sqrt{2}$ の円板は $S_n$ に含まれる。よって $\pi (n-\sqrt{2}{)}^2\leqq N(n)$ である。

以上より $\pi (n-\sqrt{2}{)}^2\leqq N(n)\leqq \pi n^2$ である。$n^2$ で割ると $\pi {\left(1-\frac{\sqrt{2}}{n}\right)}^2\leqq \frac{N(n)}{n^2}\leqq \pi$ となる。両端は $n\to \infty$ でともに $\pi$ に近づくので、はさみうちにより ${\lim }_{n\to \infty }\frac{N(n)}{n^2}=\pi$ である。