問題
平面ベクトルに対して実数を対応させる写像が次の性質(＊)を持っている．
(＊) 任意の平面ベクトル，に対して，が成り立つ．
このとき，任意の平面ベクトルに対して，が成り立つことを証明せよ．
出典：京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 第3問
方針
与えられているのは加法性だけである。 を の3つの和として表し、性質(＊)を2回使って を の3倍にする。実数値の写像なので、最後に両辺を3で割ればよい。連続性や一般の実数倍に対する線形性は仮定せず、必要な3等分だけを示す。
解答
任意の平面ベクトル を取る。このとき である。
性質(＊)をまず2つの和に対して使うと、
である。さらに性質(＊)をもう一度使って
である。したがって である。
両辺を3で割ると である。これは任意の について成り立つ。