問題
複素数の絶対値をであらわす．を満たす実数が存在するような複素数の範囲を，複素平面上で図示せよ．(ただし，は虚数単位をあらわす．)(注意：複素平面のことを複素数平面ともいう)
出典：京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 第2問
方針
と置くと、 であり、 によって傾き1の直線上を動く。条件は、その直線が原点中心半径1の円板と共有点をもつことに等しい。直線の方程式を と書き、原点からこの直線までの距離が1以下である条件を求める。最後に の不等式として帯状領域を表す。
解答
とおく。このとき である。したがって、 が実数全体を動くと、点 は を満たしながら動く。
この2式から を消去すると である。よって、点 は傾き1の直線 上を動く。
条件 を満たす実数 が存在することは、この直線が原点中心、半径1の円板と共有点をもつことと同値である。直線 を と見ると、原点からこの直線までの距離は である。したがって必要十分条件は すなわち である。
よって求める範囲は すなわち を満たす帯状領域である。境界の2直線も含む。