京都大学 2004年度後期・理系数学第5問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする．次の3つの不等式(1)，(2)，(3)をすべて満たす自然数の組 $(a, b, c, d)$ はいくつあるか． $n$ を用いてあらわせ．

(1) $1 ≦ a < d ≦ n$

(2) $a ≦ b < d$

(3) $a < c ≦ d$

出典：京都大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系第5問

方針

まず $a, d$ を固定し、差 $m = d - a$ で整理する。条件 $a ≦ b < d$ から $b$ は $m$ 通り、条件 $a < c ≦ d$ から $c$ も $m$ 通り選べる。差が $m$ である $(a, d)$ は $a = 1, 2, \dots, n - m$ の $n - m$ 通りなので、合計は $\sum_{m = 1}^{n - 1} (n - m) m^{2}$ になる。最後に2乗和・3乗和で閉じた式にする。

解答

$a, d$ を先に固定する。条件(1)より $1 ≦ a < d ≦ n$ である。ここで $m = d - a$ とおくと、 $m$ は $1, 2, \dots, n - 1$ のいずれかである。

差 $m$ を固定すると、 $d = a + m ≦ n$ だから $a = 1, 2, \dots, n - m$ であり、 $(a, d)$ の選び方は $n - m$ 通りである。

次に $b, c$ の選び方を数える。条件(2)より $a ≦ b < d = a + m$ であるから、 $b$ は $a, a + 1, \dots, a + m - 1$ の $m$ 通りである。また条件(3)より $a < c ≦ d = a + m$ であるから、 $c$ は $a + 1, a + 2, \dots, a + m$ の $m$ 通りである。 $b$ と $c$ は互いに独立に選べるので、固定した $(a, d)$ に対して $(b, c)$ は $m^{2}$ 通りである。

したがって求める個数は $\sum_{m = 1}^{n - 1} (n - m) m^{2}$ である。これを計算すると

m = 1 \sum n - 1 (n - m) m^{2} = n m = 1 \sum n - 1 m^{2} - m = 1 \sum n - 1 m^{3} = n \cdot \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6} - {\frac{n ( n - 1 )}{2}}^{2} = \frac{n ^{2} ( n - 1 ) ( 2 n - 1 )}{6} - \frac{n ^{2} ( n - 1 ) ^{2}}{4} = \frac{n ^{2} ( n - 1 ) ( n + 1 )}{12} .

よって答えは $\frac{n ^{2} ( n - 1 ) ( n + 1 )}{12}$ である。

別解。 $a, d$ を固定した後、 $b$ と $c$ の選択範囲はどちらも長さ $d - a$ である。したがって直接 $\sum_{1 ≦ a < d ≦ n} (d - a)^{2}$ と書ける。ここで差 $d - a = m$ ごとにまとめると上の和に戻る。最初からこの形を見れば、重複なく数えていることも確認しやすい。

京都大学 2004年度後期・理系数学 第5問

問題

方針

解答

京都大学 2004年度
後期・理系数学第5問