京都大学 2004年度後期・理系数学第1問解答・解説

問題

$x ≧ 0$ に対して，関数 $f (x)$ を次のように定義する．

f (x) = {x 0 (0 ≦ x ≦ 1 のとき) (x > 1 のとき)

このとき， $n \to + \infty lim n \int_{0}^{1} f (4 n x (1 - x)) d x$ を求めよ．

出典：京都大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系第1問

方針

$f (4 n x (1 - x))$ が0でないのは、 $0 ≦ 4 n x (1 - x) ≦ 1$ の範囲だけである。 $4 n x (1 - x)$ は $[0, 1]$ の中央で大きく、端で0になるので、非零部分は $x = 0$ と $x = 1$ の近くの小区間に限られる。 $4 n α_{n} (1 - α_{n}) = 1$ , $0 < α_{n} < 1/2$ と置き、対称性で積分を2倍する。最後は $n α_{n} = 1/ (4 (1 - α_{n}))$ と $α_{n} \to 0$ から極限を計算する。

解答

$f (u)$ は $0 ≦ u ≦ 1$ では $u$ 、 $u > 1$ では0である。ここで $u = 4 n x (1 - x)$ とおくと、 $0 ≦ x ≦ 1$ では $u ≧ 0$ である。したがって $f (4 n x (1 - x))$ が0でないのは $4 n x (1 - x) ≦ 1$ を満たすところである。 $0 < α_{n} < 1/2$ を $4 n α_{n} (1 - α_{n}) = 1$ を満たす数とする。このとき、 $4 n x (1 - x)$ は $x = 1/2$ に関して対称であるから、非零となる区間は $0 ≦ x ≦ α_{n}, 1 - α_{n} ≦ x ≦ 1$ である。したがって対称性より $\int_{0}^{1} f (4 n x (1 - x)) d x = 2 \int_{0}^{α_{n}} 4 n x (1 - x) d x$ である。

右辺を計算すると

2 \int_{0}^{α_{n}} 4 n x (1 - x) d x = 8 n \int_{0}^{α_{n}} (x - x^{2}) d x = 8 n (\frac{α _{n}^{2}}{2} - \frac{α _{n}^{3}}{3}) = 4 n α_{n}^{2} - \frac{8}{3} n α_{n}^{3} .

よって

n \int_{0}^{1} f (4 n x (1 - x)) d x = 4 n^{2} α_{n}^{2} - \frac{8}{3} n^{2} α_{n}^{3} = (n α_{n})^{2} (4 - \frac{8}{3} α_{n})

である。

また $4 n α_{n} (1 - α_{n}) = 1$ より $n α_{n} = \frac{1}{4 ( 1 - α _{n} )}$ である。 $0 < α_{n} < 1/2$ であり、式 $4 n α_{n} (1 - α_{n}) = 1$ から $α_{n} \to 0$ が分かる。したがって $n α_{n} \to \frac{1}{4}$ である。

以上より

n \to + \infty lim n \int_{0}^{1} f (4 n x (1 - x)) d x = (\frac{1}{4})^{2} \cdot 4 = \frac{1}{4}

である。

京都大学 2004年度後期・理系数学 第1問

問題

方針

解答

京都大学 2004年度
後期・理系数学第1問