京都大学 2004年度文系数学前期第5問解答・解説

問題

$n, a, b$ を0以上の整数とし $a^{2} + b^{2} = 2^{n}$ を考える。

(1) $n ≧ 2$ なら $a, b$ がともに偶数であることを示せ。

(2) 全ての $n$ について0以上の整数解 $(a, b)$ を求めよ。

出典：京都大学 2004年度前期日程第2次学力試験文系前期第5問

(1)は平方数の4による剰余が0または1であることを使う。(2)は $n ≧ 2$ なら $a = 2 a_{1}, b = 2 b_{1}$ として指数を2だけ下げ、 $n = 0, 1$ まで反復する。

整数の平方を4で割った余りは0または1である。 $n ≧ 2$ なら右辺は4の倍数である。 $a, b$ の少なくとも一方が奇数なら、 $a^{2} + b^{2}$ を4で割った余りは1または2となり矛盾する。よって $a, b$ はともに偶数である。

$n = 0$ では

(a, b) = (1, 0), (0, 1),

$n = 1$ では

(a, b) = (1, 1)

である。

$n ≧ 2$ なら (1)より $a = 2 a_{1}, b = 2 b_{1}$ と書け

a_{1}^{2} + b_{1}^{2} = 2^{n - 2} .

したがって指数を2ずつ下げられる。 $n = 2 m$ のときは $m$ 回下げて $n = 0$ の解へ帰着し

(a, b) = (2^{m}, 0), (0, 2^{m}) .

$n = 2 m + 1$ のときは $m$ 回下げて $n = 1$ の解へ帰着し

(a, b) = (2^{m}, 2^{m}) .

以上が全ての0以上の整数解である。