京都大学 2004年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

$x^{2} + (3 - 2 c) x + c^{2} + 5 = 0$ の2解を $α, β$ とする。複素平面の3点 $α, β, c^{2}$ が三角形の頂点となり、その重心が0であるとき、実数 $c$ を求めよ。

出典：京都大学 2004年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

重心0を複素数の和 $α + β + c^{2} = 0$ と書き、解と係数の関係で $c$ の候補を得る。各候補について3点が本当に三角形を作るかを確認する。

重心が0である条件は

α + β + c^{2} = 0

である。解と係数の関係から $α + β = 2 c - 3$ だから

c^{2} + 2 c - 3 = 0.

よって候補は

c = 1, - 3

である。

$c = 1$ のとき方程式は $x^{2} + x + 6 = 0$ で、2解は

\frac{- 1 \pm i 23}{2} .

これらと実数1は同一直線上にないので三角形を作る。

一方 $c = - 3$ のとき方程式は

x^{2} + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7) = 0.

3点は $- 2, - 7, 9$ で全て実軸上にあり、三角形を作らない。したがって

c = 1

である。