京都大学 2004年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

区間 $[- 1, 1]$ で定義された関数 $f$ は $f (- 1) = f (0) = 1, f (1) = - 2$ を満たし、グラフは下図のようになっている。 $\int_{- 1}^{1} f (x) d x ≧ - 1$ を示せ。

出典：京都大学 2004年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

図から $[- 1, 0]$ では $f (x) ≧ 1$ 、 $[0, 1]$ では $f (x) ≧ - 2$ と読み取る。それぞれを積分して加える。

与えられたグラフから

f (x) ≧ 1 (- 1 ≦ x ≦ 0), f (x) ≧ - 2 (0 ≦ x ≦ 1)

である。したがって定積分の大小関係により

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \int_{- 1}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{1} f (x) d x ≧ \int_{- 1}^{0} 1 d x + \int_{0}^{1} (- 2) d x = 1 - 2 = - 1.

よって

\int_{- 1}^{1} f (x) d x ≧ - 1

が示された。