京都大学 2004年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

$△ O A B$ で $a = O A, b = O B$ とし、 $∣ a ∣ = 3, ∣ b ∣ = 5, cos ∠ A O B = 3/5$ とする。内角の二等分線と、 $B$ 中心・半径 $10$ の円との交点の位置ベクトルを $a, b$ で表せ。

出典：京都大学 2004年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

内角の二等分線の方向ベクトルは、2辺方向の単位ベクトルの和 $a /3 + b /5$ である。交点をその実数倍で置き、中心 $B$ からの距離条件を2次方程式にする。

$d = a /3 + b /5$ とおく。内角の二等分線上の点の位置ベクトルは $λ d$ と表される。まず

a \cdot b = 3 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 9

だから

∣ d ∣^{2} = 1 + 1 + \frac{2}{15} a \cdot b = \frac{16}{5}, d \cdot b = \frac{1}{3} a \cdot b + \frac{1}{5} ∣ b ∣^{2} = 8.

円上にある条件は

∣ λ d - b ∣^{2} = 10.

よって

\frac{16}{5} λ^{2} - 16 λ + 25 = 10,

すなわち

16 λ^{2} - 80 λ + 75 = 0.

これを解くと $λ = 5/4, 15/4$ である。したがって2交点の位置ベクトルは

\frac{5}{4} (\frac{a}{3} + \frac{b}{5}) = \frac{5}{12} a + \frac{1}{4} b,

\frac{15}{4} (\frac{a}{3} + \frac{b}{5}) = \frac{5}{4} a + \frac{3}{4} b

である。