京都大学 2004年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

$f (θ) = cos 4 θ - 4 sin^{2} θ$ とする。 $0^{\circ} ≦ θ ≦ 9 0^{\circ}$ における最大値・最小値を求めよ。

出典：京都大学 2004年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

$x = sin^{2} θ$ と置く。 $cos 4 θ = 1 - 8 sin^{2} θ cos^{2} θ$ により $f$ は $0 ≦ x ≦ 1$ 上の2次関数になる。

$x = sin^{2} θ$ とおく。範囲は $0 ≦ x ≦ 1$ である。

cos 4 θ = 1 - 8 sin^{2} θ cos^{2} θ = 1 - 8 x (1 - x)

だから

f (θ) = 8 x^{2} - 12 x + 1 = 8 (x - \frac{3}{4})^{2} - \frac{7}{2} .

したがって $x = 3/4$ のとき最小値

- \frac{7}{2}

をとる。最大値は区間の端で比較し

f (0) = 1, f (1) = - 3

だから

max f = 1.

よって最大値は1、最小値は $- 7/2$ である。