京都大学 2003年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$n \to \infty lim k = 1 \sum 2 n (- 1)^{k} (\frac{k}{2 n})^{100}$ を求めよ。

出典：京都大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

奇数番目と偶数番目を一組にすると、 $x^{100}$ の隣接する二点での差になる。平均値の定理で各差を幅 $1/ (2 n)$ と導関数の値の積に直せば、 $100 x^{99}$ のリーマン和になる。

奇数項とその直後の偶数項を組にすると

S_{n} = j = 1 \sum n {(\frac{j}{n})^{100} - (\frac{2 j - 1}{2 n})^{100}} .

関数 $f (x) = x^{100}$ に平均値の定理を用いると、各 $j$ について

\frac{2 j - 1}{2 n} < ξ_{j} < \frac{j}{n}

を満たす $ξ_{j}$ が存在して

f (\frac{j}{n}) - f (\frac{2 j - 1}{2 n}) = \frac{1}{2 n} f^{'} (ξ_{j}) = \frac{1}{2 n} 100 ξ_{j}^{99} .

したがって

S_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} j = 1 \sum n 100 ξ_{j}^{99} .

これは区間 $[0, 1]$ における $100 x^{99}$ のリーマン和の半分だから

n \to \infty lim S_{n} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 100 x^{99} d x = \frac{1}{2} .