京都大学 2003年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

正の数からなる数列 ${a_{n}}$ と正の実数 $p$ に対し、 $a_{n + 1} > a_{n} /2 - p$ を満たす番号 $n$ が存在することを示せ。

出典：京都大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

結論を否定し、すべての $n$ で逆向きの不等式が成り立つと仮定する。その不等式を繰り返して $a_{n + 1}$ の上界を明示すると、十分大きな $n$ で上界が負になり、数列の正値性に反する。

そのような番号が存在しないと仮定する。このときすべての $n ≧ 1$ について

a_{n + 1} ≦ \frac{1}{2} a_{n} - p

である。これを繰り返し用いると

a_{n + 1} ≦ \frac{a _{1}}{2 ^{n}} - p (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 ^{n - 1}}) = \frac{a _{1} + 2 p}{2 ^{n}} - 2 p .

右辺は $n \to \infty$ のとき $- 2 p < 0$ に近づくので、十分大きな $n$ では負になる。すると $a_{n + 1} < 0$ となり、すべての項が正であるという仮定に反する。したがって

a_{n + 1} > \frac{1}{2} a_{n} - p

を満たす番号 $n$ が少なくとも一つ存在する。