京都大学 2003年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

正三角形 $A B C$ の辺 $A B$ 上に $P_{1}, P_{2}$ 、辺 $B C$ 上に $Q_{1}, Q_{2}$ 、辺 $C A$ 上に $R_{1}, R_{2}$ があり、頂点とは一致しない。 $△ P_{1} Q_{1} R_{1}$ と $△ P_{2} Q_{2} R_{2}$ の重心が一致するとき、 $P_{1} P_{2} = Q_{1} Q_{2} = R_{1} R_{2}$ を示せ。

出典：京都大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

各辺上の点を、その辺の始点からの比で表す。二つの重心が一致する条件を辺方向ベクトルで整理すると、3辺での比の変化量がすべて等しいことが分かる。正三角形では3辺の長さが等しいので結論が従う。

解答

$0 < p_{i}, q_{i}, r_{i} < 1$ を用いて

P_{i} = A + p_{i} (B - A), Q_{i} = B + q_{i} (C - B), R_{i} = C + r_{i} (A - C)

と表す。二つの三角形の重心が一致するから

(p_{1} - p_{2}) (B - A) + (q_{1} - q_{2}) (C - B) + (r_{1} - r_{2}) (A - C) = 0 .

$u = p_{1} - p_{2}, v = q_{1} - q_{2}, w = r_{1} - r_{2}$ とおき、 $C - B = (C - A) - (B - A)$ , $A - C = - (C - A)$ を代入すると

(u - v) (B - A) + (v - w) (C - A) = 0 .

三角形は退化していないので $B - A, C - A$ は一次独立である。したがって

u = v = w .

正三角形の一辺を $L$ とすれば

P_{1} P_{2} = ∣ p_{1} - p_{2} ∣ L, Q_{1} Q_{2} = ∣ q_{1} - q_{2} ∣ L, R_{1} R_{2} = ∣ r_{1} - r_{2} ∣ L .

変化量が等しいので

P_{1} P_{2} = Q_{1} Q_{2} = R_{1} R_{2}

が成り立つ。

京都大学 2003年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

京都大学 2003年度
後期・理系数学後期第1問