京都大学 2003年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

実数 $a, b$ について、 $x^{3} + a x^{2} + b x + 1 = 0$ の3根 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ が、相異なる $i, j$ で $∣ α_{i} - α_{j} ∣ = 3$ を満たす。 $(a, b)$ をすべて求めよ。

出典：京都大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

3根は複素平面上で一辺 $3$ の正三角形を作る。重心を $w$ 、重心から頂点への複素数を $u, u ω, u ω^{2}$ と表すと $∣ u ∣ = 1$ であり、根をもつ多項式が一度に展開できる。実係数条件と定数項を使って $w$ を決める。

$ω = e^{2 π i /3}$ とする。3根は一辺 $3$ の正三角形の頂点だから、ある複素数 $w, u$ を用いて

α_{1} = w + u, α_{2} = w + u ω, α_{3} = w + u ω^{2}, ∣ u ∣ = 1

と表せる。これらを根にもつ多項式は

(x - w)^{3} - u^{3} = x^{3} - 3 w x^{2} + 3 w^{2} x - (w^{3} + u^{3}) .

係数比較により

a = - 3 w, b = 3 w^{2}, w^{3} + u^{3} = - 1.

$a$ は実数だから $w$ は実数である。また $∣ u^{3} ∣ = 1$ で、 $u^{3} = - 1 - w^{3}$ は実数だから

- 1 - w^{3} = 1 または - 1 - w^{3} = - 1.

したがって

w = - 32 または w = 0.

前者では $u^{3} = 1$ 、後者では $u^{3} = - 1$ と取れて、いずれも条件を満たす。よって

(a, b) = (332, 334), (0, 0)

がすべてである。