京都大学 2003年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

一辺1の正三角形 $A B C$ の辺 $A C$ 上に点 $D$ を取り、 $B D$ に沿って折り曲げて四面体 $A B C D$ を作る。体積が最大になる $D$ の位置と最大体積を求めよ。

出典：京都大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

$A D = x$ とする。辺 $B D$ を共通底辺とする二つの面 $A B D, C B D$ の高さを使うと、四面体の体積は二面角の正弦を含む形になる。まず二面角を直角にして最大化し、残る $x$ の式は $u = x (1 - x)$ で単調性を調べる。

$A D = x$ , $D C = 1 - x$ とする。平面内で $A, C$ から直線 $B D$ までの距離をそれぞれ $h_{A}, h_{C}$ 、折った後の二面角を $ϕ$ とする。四面体の体積は

V = \frac{1}{6} B D h_{A} h_{C} sin ϕ .

固定した $D$ に対しては $sin ϕ ≦ 1$ だから、二面角が直角のとき最大となる。

元の正三角形の面積は $3 /4$ である。面積比から

\frac{1}{2} B D h_{A} = \frac{3}{4} x, \frac{1}{2} B D h_{C} = \frac{3}{4} (1 - x) .

また座標または余弦定理により

B D^{2} = x^{2} - x + 1 = 1 - x (1 - x) .

したがって $D$ を固定したときの最大体積は

V (x) = \frac{x ( 1 - x )}{8 1 - x ( 1 - x )} .

$u = x (1 - x)$ とおくと $0 < u ≦ 1/4$ であり、 $u / 1 - u$ はこの範囲で単調増加する。よって $u$ が最大の $x = 1/2$ 、すなわち $D$ が $A C$ の中点のとき体積も最大である。その値は

V_{m a x} = \frac{1/4}{8 3/4} = \frac{1}{16 3} = \frac{3}{48} .