京都大学 2003年度後期・文系数学後期第5問解答・解説

問題

(1) $n ≧ 2$ 、 $z \neq = 1, z^{n} = 1$ のとき、 $1 + 2 z + \dots + n z^{n - 1}$ を求め、選択肢 $0, n (z + 1), n (z - 1), n / (z - 1), n / (z - 1)^{2}, - 2 n / (z - 1)^{2}, 1 - z - n$ から選べ。

(2) $2 sin 4 0^{\circ} + 3 sin 8 0^{\circ} + \dots + 9 sin 32 0^{\circ} = - 9/ (2 tan 2 0^{\circ})$ を示せ。

出典：京都大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第5問

方針

(1)は求める和を $S$ として $z S - S$ を計算し、 $1 + z + \dots + z^{n - 1} = 0$ を使う。(2)では $z = e^{4 0^{\circ} i}$ を9乗根として(1)を適用し、虚部を取る。

解答

(1)

S = 1 + 2 z + 3 z^{2} + \dots + n z^{n - 1}

とおく。 $z^{n} = 1, z \neq = 1$ より

1 + z + \dots + z^{n - 1} = 0.

また

(z - 1) S = n z^{n} - (1 + z + \dots + z^{n - 1}) = n .

したがって

S = \frac{n}{z - 1} .

よって選択肢は（エ）である。

(2)

$z = e^{4 0^{\circ} i}$ とおくと、 $z^{9} = 1, z \neq = 1$ である。(1)を $n = 9$ に適用して

1 + 2 z + 3 z^{2} + \dots + 9 z^{8} = \frac{9}{z - 1} .

左辺の虚部は問題の左辺である。一方、 $ϕ = 4 0^{\circ}$ とすれば

\frac{1}{e ^{i ϕ} - 1} = - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} cot \frac{ϕ}{2} .

したがって両辺の虚部を取ると

2 sin 4 0^{\circ} + 3 sin 8 0^{\circ} + \dots + 9 sin 32 0^{\circ} = - \frac{9}{2} cot 2 0^{\circ} = - \frac{9}{2 tan 2 0 ^{\circ}} .

京都大学 2003年度後期・文系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2003年度
後期・文系数学後期第5問