京都大学 2003年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

三角形 $A B C$ と点 $P$ に対し、次の2条件が同値であることを示せ。

(i) $P$ は $△ A B C$ の内部（周を除く）にある。

(ii) 正の数 $a, b, c$ が存在して、 $a P A + b P B + c P C = 0$ となる。

出典：京都大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

(i)から(ii)には、点 $P$ が作る3小三角形の面積を係数に用いる。逆向きではベクトル式を変形して、 $P$ が3頂点の正の係数による加重平均であることを示す。係数がすべて正であることが、辺上を除く内部であることに対応する。

$P$ が内部にあるとする。 $S_{A} = [P B C], S_{B} = [P C A], S_{C} = [P A B]$ とおくと、これらはすべて正である。三角形の面積比による重心座標の公式から

P = \frac{S _{A} A + S _{B} B + S _{C} C}{S _{A} + S _{B} + S _{C}} .

したがって

S_{A} (A - P) + S_{B} (B - P) + S_{C} (C - P) = 0 .

よって $a = S_{A}, b = S_{B}, c = S_{C}$ とすれば(ii)を満たす。

(ii)が成り立つとする。式を整理すると

P = \frac{a A + b B + c C}{a + b + c} .

ここで

λ = \frac{a}{a + b + c}, μ = \frac{b}{a + b + c}, ν = \frac{c}{a + b + c}

とおけば、 $λ, μ, ν > 0$ , $λ + μ + ν = 1$ である。たとえば

P = λ A + (1 - λ) \frac{μ B + ν C}{μ + ν}

と書ける。後半の点は辺 $B C$ の端点以外にあり、さらに $0 < λ < 1$ だから、 $P$ はその点と頂点 $A$ を結ぶ線分の端点以外にある。ゆえに $P$ は三角形の周上ではなく内部にある。以上より2条件は同値である。