京都大学 2003年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

原点中心、半径1の円上で、 $P$ は第1象限、 $Q$ は第2象限を動き、 $∠ P O Q = π /2$ とする。 $P, Q$ での接線と $x$ 軸が囲む三角形の面積が最小になる場合と最小値を求めよ。

出典：京都大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

$P = (cos θ, sin θ)$ と置けば、 $Q$ は90度回転した座標で表せる。2本の接線の $x$ 切片と交点の高さから面積を求め、 $sin 2 θ ≦ 1$ で最小化する。

$0 < θ < π /2$ とし、

P = (cos θ, sin θ), Q = (- sin θ, cos θ)

とおく。 $P, Q$ での接線はそれぞれ

x cos θ + y sin θ = 1, - x sin θ + y cos θ = 1

である。これらの $x$ 切片は $1/ cos θ, - 1/ sin θ$ 、2接線の交点は

(cos θ - sin θ, sin θ + cos θ)

である。したがって三角形の面積は

S = \frac{1}{2} (\frac{1}{cos θ} + \frac{1}{sin θ}) (sin θ + cos θ) = \frac{( sin θ + cos θ ) ^{2}}{2 sin θ cos θ} = 1 + \frac{1}{sin 2 θ} .

$0 < 2 θ < π$ で $sin 2 θ ≦ 1$ だから

S ≧ 2.

等号は $2 θ = π /2$ 、すなわち $θ = π /4$ のときに成り立つ。よって $P, Q$ が $y$ 軸に関して対称になる場合に最小となり、最小値は $2$ である。