京都大学 2003年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

$A B = 3, A C = 4, B C = 5, A D = 6, B D = 7, C D = 8$ である四面体 $A B C D$ の体積を求めよ。

出典：京都大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

辺 $A B, A C, B C$ が3,4,5なので底面 $A B C$ は $A$ で直角である。底面を座標平面に置き、点 $D$ の3本の距離条件を差し引いて水平成分を求める。残った鉛直成分が底面への高さになる。

$A = (0, 0, 0), B = (3, 0, 0), C = (0, 4, 0)$ とおける。 $D = (x, y, z)$ とすると

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 36,

(x - 3)^{2} + y^{2} + z^{2} = 49, x^{2} + (y - 4)^{2} + z^{2} = 64.

第2式から第1式を引くと

- 6 x + 9 = 13, x = - \frac{2}{3} .

第3式から第1式を引くと

- 8 y + 16 = 28, y = - \frac{3}{2} .

したがって

z^{2} = 36 - \frac{4}{9} - \frac{9}{4} = \frac{1199}{36}, ∣ z ∣ = \frac{1199}{6} .

底面 $A B C$ の面積は $3 \cdot 4/2 = 6$ であるから、体積は

V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{1199}{6} = \frac{1199}{3} .