京都大学 2003年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

実数 $x$ に対し、 $2 x, 5 - x, 2$ の最小値を $f (x)$ とし、 $g (x) = x f (x)$ とする。 $y = g (x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

出典：京都大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

3本の直線の大小が入れ替わる点を調べて $f$ を区分的に表す。次に $g = x f (x)$ の零点と符号を確認し、実際に閉じた領域を作る $0 ≦ x ≦ 5$ だけを積分する。

3数を比較すると、 $x ≦ 1$ では $2 x$ が最小、 $1 ≦ x ≦ 3$ では2が最小、 $x ≧ 3$ では $5 - x$ が最小である。したがって

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x 2 5 - x (x ≦ 1), (1 ≦ x ≦ 3), (x ≧ 3) .

よって

g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x^{2} 2 x x (5 - x) (x ≦ 1), (1 ≦ x ≦ 3), (x ≧ 3) .

グラフが $x$ 軸と作る有界な領域は $0 ≦ x ≦ 5$ にあり、その面積は

S = \int_{0}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{3} 2 x d x + \int_{3}^{5} x (5 - x) d x = \frac{2}{3} + 8 + \frac{22}{3} = 16.

したがって求める面積は $16$ である。