京都大学 2002年度
理系数学 第6問

解答

$\omega =\cos {\theta }^{\circ }+i\sin {\theta }^{\circ }$ とおく。$0<\theta <90$ なので $\omega \ne 1$ である。 $d_n=z_n-z_{n-1}$ とおくと、条件(i)より $d_1=z_1-z_0=a$ である。また条件(ii)より、$d_{n+1}$ は $d_n$ を原点のまわりに ${\theta }^{\circ }$ 回転したものだから $d_{n+1}=\omega d_n$ である。したがって $d_n=a{\omega }^{n-1}(n\geqq 1)$ となる。

よって $z_n=z_0+d_1+d_2+\cdots +d_n=a(1+\omega +{\omega }^2+\cdots +{\omega }^{n-1})$ である。$\omega \ne 1$ だから $z_n=a\frac{1-{\omega }^n}{1-\omega }$ である。 $a>0$ であり、$1-\omega \ne 0$ なので、$z_n=z_0=0$ となることは $1-{\omega }^n=0$ すなわち ${\omega }^n=1$ と同値である。 ${\omega }^n$ は偏角 $n{\theta }^{\circ }$ をもつので、${\omega }^n=1$ となることは $n\theta =360m$ を満たす整数 $m$ が存在することと同値である。

まず、ある $n\geqq 1$ で $z_n=z_0$ となるとする。このとき上の議論より $n\theta =360m$ となる整数 $m$ が存在する。したがって $\theta =\frac{360m}{n}$ であり、$\theta$ は有理数である。

逆に $\theta$ が有理数であるとする。$0<\theta <90$ だから、正の整数 $u,v$ を用いて $\theta =\frac{u}{v}$ と書ける。このとき $n=360v$ とすれば $n\theta =360v\cdot \frac{u}{v}=360u$ である。よって ${\omega }^n=1$ となり、上の式から $z_n=0=z_0$ である。

以上より、$z_n$ が $z_0$ と一致するような $n\geqq 1$ が存在するための必要十分条件は $\theta \text{ が有理数であること}$ である。