問題
半径1の円周上に相異なる3点，，がある．
(1) ならばは鋭角三角形であることを示せ．
(2) が成立することを示せ．また，この等号が成立するのはどのような場合か．
方針
外接円の半径が1なので、辺の長さを , , と表す。すると辺の2乗和は になり、恒等式 により と整理できる。(1) は積が正なら三角形が鋭角であることを示す。(2) は鈍角・直角の場合と鋭角の場合に分け、鋭角の場合は固定した に対する の上限から積を 以下に抑える。
解答
(1)
三角形 の内角をそれぞれ とする。外接円の半径が1であるから、正弦定理より である。したがって である。
ここで、三角形の角について が成り立つ。実際、 として加法定理で整理すれば得られる恒等式である。よって である。
(1) 仮定より だから、上の式から である。
三角形の内角のうち、鈍角または直角は高々1つである。もし1つが鈍角なら、その余弦は負で、残り2つの余弦は正なので積は負になる。もし1つが直角なら積は0になる。いずれも上の正の条件に反する。したがって3つの余弦はすべて正であり、 である。よって は鋭角三角形である。
(2)
まず が鋭角三角形でない場合を考える。このとき少なくとも1つの余弦が0以下で、残りの余弦の積を考えても である。したがって である。
次に が鋭角三角形の場合を考える。このとき はすべて正である。 より
である。 だから となる。よって
である。 とおき、 とすれば である。等号は のときである。したがって であり、 が示された。
等号が成り立つには、上の不等式で等号がすべて成り立つ必要がある。すなわち である。前者より 、後者より である。さらに だから となる。したがって等号成立は 、すなわち3点 が円に内接する正三角形の頂点である場合に限る。