京都大学 2002年度理系数学第4問解答・解説

問題

(1) $x ≧ 0$ で定義された関数 $f (x) = lo g (x + 1 + x^{2})$ について，導関数 $f^{'} (x)$ を求めよ．

(2) 極方程式 $r = θ$ $(θ ≧ 0)$ で定義される曲線の， $0 ≦ θ ≦ π$ の部分の長さを求めよ．

出典：京都大学 2002年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

(1) は合成関数として微分し、分子分母を整理して $f^{'} (x) = 1/ 1 + x^{2}$ を得る。(2) は極方程式をそのまま公式に入れるだけでなく、 $X = θ cos θ$ , $Y = θ sin θ$ と媒介変数表示して弧長を導くと確実である。長さは $\int_{0}^{π} 1 + θ^{2} d θ$ になり、その原始関数は部分積分と(1)の結果から求める。

解答

(1)

$f (x) = lo g (x + 1 + x^{2})$ である。 $x ≧ 0$ では $x + 1 + x^{2} > 0$ なので通常通り微分できる。合成関数の微分より $f^{'} (x) = \frac{1 + \frac{x}{1 + x ^{2}}}{x + 1 + x ^{2}}$ である。分子をまとめると $1 + \frac{x}{1 + x ^{2}} = \frac{1 + x ^{2} + x}{1 + x ^{2}}$ だから、

f^{'} (x) = \frac{1 + x ^{2} + x}{1 + x ^{2} ( x + 1 + x ^{2} )} = \frac{1}{1 + x ^{2}}

である。よって $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ である。

(2)

極方程式 $r = θ$ の曲線は、直交座標で $X = θ cos θ, Y = θ sin θ$ と表せる。ただしここでの $θ$ はラジアンであり、 $0 ≦ θ ≦ π$ である。

それぞれ微分すると

\frac{d X}{d θ} = cos θ - θ sin θ, \frac{d Y}{d θ} = sin θ + θ cos θ

である。したがって弧長は

L = \int_{0}^{π} (cos θ - θ sin θ)^{2} + (sin θ + θ cos θ)^{2} d θ

である。平方の中を整理すると交差項が消えて

(cos θ - θ sin θ)^{2} + (sin θ + θ cos θ)^{2} = 1 + θ^{2}

となる。よって $L = \int_{0}^{π} 1 + θ^{2} d θ$ である。

ここで $I = \int 1 + x^{2} d x$ とおく。部分積分により $I = x 1 + x^{2} - \int \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} d x$ である。また

\frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} = \frac{1 + x ^{2}}{1 + x ^{2}} - \frac{1}{1 + x ^{2}} = 1 + x^{2} - \frac{1}{1 + x ^{2}}

だから、 $I = x 1 + x^{2} - I + \int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x$ となる。(1) より $\int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = lo g (x + 1 + x^{2})$ である。したがって $I = \frac{1}{2} {x 1 + x^{2} + lo g (x + 1 + x^{2})}$ を得る。

よって求める長さは

L = [\frac{1}{2} {θ 1 + θ^{2} + lo g (θ + 1 + θ^{2})}]_{0}^{π}

である。 $θ = 0$ では $lo g 1 = 0$ なので、

L = \frac{1}{2} {π 1 + π^{2} + lo g (π + 1 + π^{2})}

である。

京都大学 2002年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2002年度
理系数学第4問