京都大学 2002年度
理系数学 第1問

解答

$n=1$ を条件式に代入すると $1(1-2)a_2=S_1$ である。$S_1=a_1=1$ だから $-a_2=1$ となり、$a_2=-1$ である。したがって $S_2=a_1+a_2=1-1=0$ であり、$n=2$ の式 $2(2-2)a_3=S_2$ も成り立つ。

以下、$n\geqq 3$ とする。条件より $S_n=n(n-2)a_{n+1},S_{n-1}=(n-1)(n-3)a_n$ である。両式の差を取ると、$S_n-S_{n-1}=a_n$ だから $a_n=n(n-2)a_{n+1}-(n-1)(n-3)a_n$ である。よって $\{1+(n-1)(n-3)\}{a}_n=n(n-2)a_{n+1}$ となる。左辺の係数は $1+(n-1)(n-3)=1+n^2-4n+3=(n-2{)}^2$ なので、$(n-2{)}^2{a}_n=n(n-2)a_{n+1}$ である。$n\geqq 3$ だから $n-2\ne 0$ であり、$a_{n+1}=\frac{n-2}{n}{a}_n$ を得る。

この漸化式を $a_3$ から用いると、$n\geqq 3$ で $a_n=a_3\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{3}{5}\cdots \frac{n-3}{n-1}$ である。積を整理して $a_n=a_3\frac{2}{(n-1)(n-2)}$ となる。

したがって ${\sum }_{n=3}^N{a}_n=a_3{\sum }_{n=3}^N\frac{2}{(n-1)(n-2)}$ である。ここで $\frac{2}{(n-1)(n-2)}=2\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}\right)$ だから ${\sum }_{n=3}^N\frac{2}{(n-1)(n-2)}=2\left(1-\frac{1}{N-1}\right)$ である。よって $S_N=a_1+a_2+{\sum }_{n=3}^N{a}_n=0+2a_3\left(1-\frac{1}{N-1}\right)$ となる。$N\to \infty$ とすると ${\lim }_{N\to \infty }{S}_N=2a_3$ である。これが1に等しいので $a_3=\frac{1}{2}$ である。

以上より

である。