問題
，，を実数とする．とのグラフが相異なる3つの交点を持つという．このときが成立することを示し，さらにこれらの交点の座標のすべては開区間に含まれていることを示せ．
出典：京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
交点の 座標は3次方程式 の相異なる3実根である。3実根をもつなら、導関数は2つの相異なる実根をもつので、まず が従う。次に , と置くと、方程式は の形になる。極大点 と極小点 の符号から を得て、単調区間と の符号を使い、3つの根がすべて に入ることを示す。
解答
とおく。 と のグラフが相異なる3つの交点をもつということは、方程式 が相異なる3つの実数解をもつということである。
まず である。相異なる3つの実数解をもつ3次方程式では、解と解の間に導関数が0になる点がある。したがって は相異なる2つの実数解をもつ必要がある。よって であり、 が示された。
以下 とおく。 として を整理すると、ある実数 を用いて と書ける。そこで とおく。求める3つの 座標に対応する は、 の相異なる3実根である。
導関数は である。したがって は
する。3つの実根をもつためには、極大値が正、極小値が負でなければならない。すなわち である。これより を得る。
この不等式を用いて での値を調べると、 であり、 である。 は で増加し、 であるから、左側の根は にある。また で減少し、 であるから、中央の根は にある。さらに で増加し、 であるから、右側の根は にある。
したがって3つの実根はすべて を満たす。, であるから、すべての交点の 座標は に含まれる。