京都大学 2001年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

単位円 $C_{1}$ と、 $- 1 < a < - 1/2$ を満たす点 $R (a, 0)$ を考える。 $C_{1}$ 上の点 $P$ における接線と、 $R$ を通りこの接線に直交する直線との交点を $Q$ とする。 $P$ が一周するとき $Q$ が描く曲線を $C_{2}$ とする。 $C_{2}$ 上の点の $x$ 座標の最小値が $- 1$ より小さいことを示し、 $C_{2}$ で囲まれる面積を求めよ。

出典：京都大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

$P = (cos t, sin t)$ とおく。接線は $x cos t + y sin t = 1$ 、これに垂直な直線は半径方向なので $Q = R + λ P$ と置いて $λ$ を決める。得られる媒介表示から $x$ を平方完成し、面積は $\frac{1}{2} \int (x y^{'} - y x^{'}) d t$ で求める。

解答

$P = (cos t, sin t)$ とおく。 $P$ における単位円の接線は

x cos t + y sin t = 1

である。この接線に垂直な方向は $(cos t, sin t)$ だから

Q = (a, 0) + λ (cos t, sin t)

と書ける。接線の式へ代入すると $a cos t + λ = 1$ より $λ = 1 - a cos t$ である。従って

x (t) y (t) = a + cos t - a cos^{2} t = \frac{a}{2} + cos t - \frac{a}{2} cos 2 t, = sin t - a sin t cos t = sin t - \frac{a}{2} sin 2 t .

まず $c = cos t$ とおくと

x = - a c^{2} + c + a = - a (c - \frac{1}{2 a})^{2} + a + \frac{1}{4 a} .

$- 1 < a < - 1/2$ では $1/ (2 a) \in (- 1, - 1/2)$ であり、 $- a > 0$ だから

min x = a + \frac{1}{4 a} .

さらに

a + \frac{1}{4 a} + 1 = \frac{( 2 a + 1 ) ^{2}}{4 a} < 0

なので $min x < - 1$ である。

面積を求める前に曲線が単純閉曲線であることを確認する。 $u = e^{i t}$ とすれば

x + i y = \frac{a}{2} + u - \frac{a}{2} u^{2} .

異なる $u, v$ が同じ点を与えるなら

(u - v) {1 - \frac{a}{2} (u + v)} = 0

だが、 $∣ a (u + v) /2∣ ≦ ∣ a ∣ < 1$ なので第2因子は0にならない。従って一周で重なりはない。

囲まれる面積 $S$ は

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {x y^{'} - y x^{'}} d t .

上の媒介表示を代入する。異なる周波数の三角関数の積の積分は0であり、 $cos t, sin t$ の組と $- (a /2) cos 2 t, - (a /2) sin 2 t$ の組だけが残るから

S = π {1 + 2 (\frac{a}{2})^{2}} = π (1 + \frac{a ^{2}}{2}) .

京都大学 2001年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

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京都大学 2001年度
後期・理系数学後期第6問