問題
とする。連立方程式 には解が存在し、 には解が存在しないとする。
(1) の各列ベクトルは の実数倍であることを示せ。
(2) この条件を満たす連立方程式を作れるための の条件を求めよ。
出典：京都大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第5問
方針
行列の列ベクトルが張る集合を考える。第1の右辺はその集合に入り、第2の右辺は入らないので、列空間は平面全体ではなく、第1の右辺が張る直線になる。(2)は二つの右辺が平行でないことを2次行列式で判定する。
解答
(1)
とおく。第1の方程式に解があるから は の一次結合である。第2の方程式に解がないから はその一次結合ではない。
もし が一次独立なら、任意の平面ベクトル、特に がその一次結合となり矛盾する。従って両列は一次従属である。また であり、 は両列の一次結合だから、両列が張る直線は が張る直線に一致する。従って はともに の実数倍である。
(2)
(1)より、第2の方程式に解がないための条件は が の実数倍でないことである。これは
と同値である。左辺は
従って
すなわち
逆にこの条件を満たすなら、例えば の第1列を 、第2列を零ベクトルとすれば、第1の方程式には という解があり、第2の右辺 は列の張る直線上にないので第2の方程式には解がない。従って上の条件は必要十分である。