京都大学 2001年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

方程式

x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} - 2 x y - 2 x z + 2 y z - 5 = 0

を満たす正の整数の組 $(x, y, z)$ をすべて求めよ。

出典：京都大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

左辺の二次形式を $(x - y - z)^{2} + y^{2} + z^{2}$ と平方完成する。 $y, z$ が正の整数であることから $y^{2} + z^{2} ≦ 5$ を満たす組を有限個に絞る。

与式は

(x - y - z)^{2} + y^{2} + z^{2} = 5

と書き直せる。従って

y^{2} + z^{2} ≦ 5.

$y, z$ は正の整数だから、候補は

(y, z) = (1, 1), (1, 2), (2, 1)

だけである。

$(y, z) = (1, 1)$ のときは

(x - 2)^{2} = 3

となり、整数 $x$ は存在しない。

$(y, z) = (1, 2)$ または $(2, 1)$ のときは $y^{2} + z^{2} = 5$ なので

(x - y - z)^{2} = 0,

従って $x = y + z = 3$ である。

以上より求める組は

(x, y, z) = (3, 1, 2), (3, 2, 1) .

どちらも元の式を満たす。