京都大学 2001年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$f_{1} (x) = 1$ 、 $n ≧ 2$ で $f_{n} (x) = (1 + x) f_{n - 1} (x^{2})$ と定める。 $g_{n} (x) = (1 - x) f_{n} (x)$ とするとき、 $g_{n} (x)$ を求めよ。また、 $n \to \infty$ のとき $f_{n} (x)$ が収束する実数 $x$ の範囲を求めよ。

出典：京都大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

$(1 - x)$ を掛けた形は差の平方を作るので、 $g_{n}$ の漸化式を求めて帰納する。得られた $(1 - x) f_{n} (x) = 1 - x^{2^{n - 1}}$ を使い、 $∣ x ∣ < 1$ 、 $x = - 1$ 、その他に分けて極限を判定する。

解答

$n = 1$ では

g_{1} (x) = 1 - x .

$n ≧ 2$ では

g_{n} (x) = (1 - x) (1 + x) f_{n - 1} (x^{2}) = (1 - x^{2}) f_{n - 1} (x^{2}) = g_{n - 1} (x^{2}) .

従って帰納法により

g_{n} (x) = 1 - x^{2^{n - 1}}

である。

実際、 $n ≧ 2$ なら

f_{n} (x) = (1 + x) (1 + x^{2}) \dots (1 + x^{2^{n - 2}})

であり、上の恒等式と一致する。

次に収束範囲を調べる。 $x \neq = 1$ では

f_{n} (x) = \frac{1 - x ^{2^{n - 1}}}{1 - x} .

$- 1 < x < 1$ なら $x^{2^{n - 1}} \to 0$ だから

f_{n} (x) \to \frac{1}{1 - x} .

$x = - 1$ では $n ≧ 2$ で $f_{n} (- 1) = 0$ だから収束する。一方 $x = 1$ では $f_{n} (1) = 2^{n - 1}$ で発散する。 $∣ x ∣ > 1$ では $x^{2^{n - 1}} \to + \infty$ となり、上式の絶対値が無限に大きくなるので収束しない。

従って求める範囲は

- 1 ≦ x < 1.

京都大学 2001年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

京都大学 2001年度
後期・理系数学後期第2問