京都大学 2001年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

負でない実数 $a$ の小数部分を ${a}$ と表す。

(1) ${n lo g_{10} 2} < 0.02$ となる正の整数 $n$ を1つ求めよ。

(2) 10進表示で $2^{n}$ の最高位の数字が7となる正の整数 $n$ を1つ求めよ。ただし $0.3010 < lo g_{10} 2 < 0.3011$ 、 $0.8450 < lo g_{10} 7 < 0.8451$ とする。

出典：京都大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

(1) $lo g_{10} 2$ の近似範囲を10倍して、整数のすぐ上に来る例を作る。(2) 最高位が7である条件を、小数部分が $[lo g_{10} 7, lo g_{10} 8)$ に入ることと言い換え、与えられた粗い評価だけで判定できる $n$ を探す。

与えられた評価を10倍すると

3.010 < 10 lo g_{10} 2 < 3.011.

従って

0.010 < {10 lo g_{10} 2} < 0.011 < 0.02.

よって一例は

n = 10

である。

$n lo g_{10} 2 = M + r (M \in Z, 0 ≦ r < 1)$ と書くと

2^{n} = 1 0^{M} 1 0^{r} .

従って最高位が7であるための条件は

lo g_{10} 7 ≦ r < lo g_{10} 8

である。

$n = 46$ とする。与えられた評価から

13.8460 < 46 lo g_{10} 2 < 13.8506

だから

0.8460 < {46 lo g_{10} 2} < 0.8506.

一方

lo g_{10} 7 < 0.8451 < 0.8460

であり、また

lo g_{10} 8 = 3 lo g_{10} 2 > 0.9030 > 0.8506.

従って

lo g_{10} 7 < {46 lo g_{10} 2} < lo g_{10} 8.

よって一例は

n = 46

である。