京都大学 2001年度後期・文系数学後期第5問解答・解説

問題

青玉 $a$ 個、赤玉 $b$ 個、白玉 $c$ 個、合計 $N = a + b + c$ 個の玉が入った袋から、1個を無作為に取り出して戻す試行を $n$ 回行う。取り出された玉の色の種類数の期待値を $E_{n}$ とするとき、

E_{n} = 3 - (\frac{a + b}{N})^{n} - (\frac{b + c}{N})^{n} - (\frac{c + a}{N})^{n}

を示せ。

出典：京都大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第5問

各色について「その色が一度でも出たら1、出なければ0」となる指示変数を置く。色の種類数は3個の指示変数の和であり、各期待値は「一度も出ない」余事象から求める。

青・赤・白について、それぞれ一度でも取り出されたとき1、そうでないとき0となる確率変数を $X_{B}, X_{R}, X_{W}$ とする。取り出された色の種類数を $X$ とすれば

X = X_{B} + X_{R} + X_{W} .

青が1回の試行で出ない確率は $(b + c) / N$ であり、各試行は独立だから、 $n$ 回とも青が出ない確率は

(\frac{b + c}{N})^{n} .

従って

E [X_{B}] = 1 - (\frac{b + c}{N})^{n} .

同様に

E [X_{R}] = 1 - (\frac{c + a}{N})^{n}, E [X_{W}] = 1 - (\frac{a + b}{N})^{n} .

期待値の加法性より

E_{n} = E [X] = E [X_{B}] + E [X_{R}] + E [X_{W}] = 3 - (\frac{a + b}{N})^{n} - (\frac{b + c}{N})^{n} - (\frac{c + a}{N})^{n} .

これで示された。