京都大学 2001年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

曲線 $C_{1} : y = x^{3} + 2 x^{2} + 2$ 上の点 $P$ における接線を $L$ とする。 $L$ と曲線 $C_{2} : y = 3 x^{2}$ とで囲まれる図形の面積の最小値を求めよ。

出典：京都大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

$P$ の $x$ 座標を $t$ とし、接線を求める。接線と放物線の差は二次式なので、判別式から二交点間の距離を出し、二次式で囲まれる面積公式 $A L^{3} /6$ を使う。最後は $t^{2}$ の二次式を最小化する。

$P$ の $x$ 座標を $t$ とする。 $F (x) = x^{3} + 2 x^{2} + 2$ とおけば

F^{'} (t) = 3 t^{2} + 4 t .

従って接線 $L$ は

y = (3 t^{2} + 4 t) x - 2 t^{3} - 2 t^{2} + 2

である。これと $y = 3 x^{2}$ の交点の $x$ 座標は

3 x^{2} - (3 t^{2} + 4 t) x + 2 t^{3} + 2 t^{2} - 2 = 0

の二根である。この二次方程式の判別式は

D = (3 t^{2} + 4 t)^{2} - 12 (2 t^{3} + 2 t^{2} - 2) = 9 t^{4} - 8 t^{2} + 24.

$u = t^{2} ≧ 0$ とすれば

D = 9 u^{2} - 8 u + 24 = 9 (u - \frac{4}{9})^{2} + \frac{200}{9} > 0

だから、常に異なる二交点をもつ。

二根を $r_{1} < r_{2}$ とすると

r_{2} - r_{1} = \frac{D}{3} .

接線が放物線より上にある区間での差は $3 (x - r_{1}) (r_{2} - x)$ なので、面積 $S$ は

S = 3 \int_{r_{1}}^{r_{2}} (x - r_{1}) (r_{2} - x) d x = \frac{( r _{2} - r _{1} ) ^{3}}{2} = \frac{D ^{3/2}}{54} .

これは $D$ が最小のとき最小となる。 $u = 4/9$ 、すなわち $t = \pm 2/3$ のとき $D = 200/9$ だから

S_{m i n} = \frac{1}{54} (\frac{200}{9})^{3/2} = \frac{1000 2}{729} .