京都大学 2001年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

$1$ または $- 1$ からなる数列 $a_{1}, \dots, a_{n}$ のうち $m$ 個が1、 $n - m$ 個が $- 1$ である。 $b_{k} = \frac{1}{2} (k a_{k} + \sum_{j = 1}^{k} a_{j})$ とするとき、集合 ${b_{k} ∣ 1 ≦ k ≦ n}$ を求めよ。

出典：京都大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

第 $k$ 項までに現れた1の個数を $r_{k}$ とおく。部分和を $2 r_{k} - k$ と表し、 $a_{k} = 1$ と $a_{k} = - 1$ で分けると、 $b_{k}$ はそれぞれ「何個目の1か」と「何個目の $- 1$ か」を表す。

解答

第 $k$ 項までに現れる1の個数を $r_{k}$ とする。このとき

j = 1 \sum k a_{j} = r_{k} - (k - r_{k}) = 2 r_{k} - k .

$a_{k} = 1$ のとき

b_{k} = \frac{1}{2} {k + (2 r_{k} - k)} = r_{k} .

従って、1が現れるたびに $b_{k}$ は順に $1, 2, \dots, m$ となる。

一方 $a_{k} = - 1$ のとき

b_{k} = \frac{1}{2} {- k + (2 r_{k} - k)} = r_{k} - k = - (k - r_{k}) .

ここで $k - r_{k}$ は第 $k$ 項までの $- 1$ の個数だから、 $- 1$ が現れるたびに $b_{k}$ は順に $- 1, - 2, \dots, - (n - m)$ となる。

よって

{b_{k} ∣ 1 ≦ k ≦ n} = {1, 2, \dots, m} \cup {- 1, - 2, \dots, - (n - m)} .

$m = 0$ または $m = n$ の場合は、対応する側の集合を空集合と解釈する。

京都大学 2001年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

京都大学 2001年度
後期・文系数学後期第2問