京都大学 2001年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

複素数平面上の単位円に内接し、1を頂点にもつ正五角形を考える。その辺を延長した直線どうしの交点のうち、元の頂点以外で実部・虚部がともに正のものを $z$ とする。

(1) $α = cos 7 2^{\circ} + i sin 7 2^{\circ}$ とするとき、 $z$ を $α$ で表せ。

(2) 3点 $1, α^{2}, z$ を通る円が原点を通ることを示せ。

出典：京都大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

単位円上の2点 $u, v$ を結ぶ直線を $w + uv \overline{w} = u + v$ と表す。第1象限の交点は辺 $α α^{2}$ と辺 $α^{4} 1$ の延長の交点である。(2)は4点の複比が実数になることを示す。

単位円上の異なる2点 $u, v$ を通る直線は

w + uv \overline{w} = u + v

と表せる。実際、 $∣ u ∣ = ∣ v ∣ = 1$ を用いれば $w = u, v$ はこの式を満たし、これは $w, \overline{w}$ に関する実一次方程式である。

正五角形の頂点を $1, α, α^{2}, α^{3}, α^{4}$ と反時計回りに並べる。第1象限にある求める交点は、辺 $α α^{2}$ と辺 $α^{4} 1$ の延長の交点である。従って

z + α^{3} \overline{z} = α + α^{2}, z + α^{4} \overline{z} = 1 + α^{4} .

$α^{5} = 1$ および $1 + α + α^{2} + α^{3} + α^{4} = 0$ を用いて連立すると

z = \frac{α ( 1 + α )}{1 + α ^{2}} .

なお $1 + α$ の偏角は $3 6^{\circ}$ で、係数 $α / (1 + α^{2}) = 1/ (α + α^{4}) > 0$ だから、この $z$ は確かに第1象限にある。

4点 $0, 1, α^{2}, z$ が同一円周上にあるための必要十分条件は、これらが同一直線上にない本問では

\frac{( z - 1 ) ( 0 - α ^{2} )}{( z - α ^{2} ) ( 0 - 1 )} = α^{2} \frac{z - 1}{z - α ^{2}}

が実数となることである。(1)の式を代入すると

α^{2} \frac{z - 1}{z - α ^{2}} = α^{2} \frac{α - 1}{α - α ^{4}} = - (α + α^{4}) .

右辺は $- 2 cos 7 2^{\circ}$ で実数である。従って $0, 1, α^{2}, z$ は同一円周上にあり、3点 $1, α^{2}, z$ を通る円は原点を通る。