京都大学 2001年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

$x y$ 平面上のベクトル $u, v$ が $∣ u ∣ = 1$ 、 $∣ u + 3 v ∣ = 1$ 、 $∣2 u + v ∣ = 2$ を満たす。 $O P = u$ 、 $O Q = v$ とするとき、 $△ O P Q$ の面積を求めよ。

出典：京都大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

$p = u \cdot v$ 、 $q = ∣ v ∣^{2}$ とおき、二つの長さの条件を平方して連立一次方程式にする。最後に、二辺の内積から三角形の面積を求める。

$p = u \cdot v$ 、 $q = ∣ v ∣^{2}$ とおく。 $∣ u ∣^{2} = 1$ だから

∣ u + 3 v ∣^{2} = 1 + 6 p + 9 q = 1,

∣2 u + v ∣^{2} = 4 + 4 p + q = 2.

従って

2 p + 3 q = 0, 4 p + q = - 2.

これを解くと

p = - \frac{3}{5}, q = \frac{2}{5} .

$△ O P Q$ の面積を $S$ とすれば

(2 S)^{2} = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} - (u \cdot v)^{2} = \frac{2}{5} - \frac{9}{25} = \frac{1}{25} .

面積は正なので

S = \frac{1}{10} .