問題
平面内ので定められる領域と，中心がで原点を通る円を考える．がに含まれるという条件のもとで，が動きうる範囲を図示し，その面積を求めよ．
出典：京都大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第5問
方針
中心を と置くと、円の半径は である。円が帯 からはみ出さないためには、中心から上下の境界までの距離の小さい方、すなわち が半径以上であることが必要十分である。これを2乗して に直し、上下対称な放物線状の領域として面積を積分する。
解答
中心を とおく。円 は中心が で原点 を通るので、その半径は である。
領域 は帯状領域 である。円全体がこの帯に含まれるためには、円が上の直線 にも下の直線 にもはみ出さなければよい。中心 から上の境界までの距離は 、下の境界までの距離は である。
したがって必要十分条件は かつ である。これはまとめて と書ける。この右辺が0以上であることから、特に も含まれる。
両辺は0以上なので2乗して である。右辺を展開すると だから を得る。すなわち であり、このためには である。
したがって の動きうる範囲は、 軸に関して対称で、上側の境界が 下側の境界が である領域である。面積は
である。よって となる。
したがって面積は である。
別解。上下対称性から の部分だけを考えると、条件は 、すなわち である。この上半分の面積は なので、全体では となる。