京都大学 2001年度文系数学第4問解答・解説

問題

$n$ を2以上の整数とする．実数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ に対し， $S = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ とおく． $k = 1, 2, \dots, n$ について，不等式 $- 1 < S - a_{k} < 1$ が成り立っているとする． $a_{1} ≦ a_{2} ≦ \dots ≦ a_{n}$ のとき，すべての $k$ について $∣ a_{k} ∣ < 2$ が成り立つことを示せ．

出典：京都大学 2001年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

$T_{k} = S - a_{k}$ と置くと、仮定は $- 1 < T_{k} < 1$ である。さらに $a_{1} ≦ \dots ≦ a_{n}$ なので、 $T_{1} ≧ \dots ≧ T_{n}$ となる。 $\sum T_{k} = (n - 1) S$ から $S$ を $T_{k}$ で表し、最大の $a_{n} = S - T_{n}$ と最小の $a_{1} = S - T_{1}$ だけを評価すれば、すべての $a_{k}$ が $(- 2, 2)$ に入る。

解答

$T_{k} = S - a_{k} (k = 1, 2, \dots, n)$ とおく。仮定より $- 1 < T_{k} < 1$ である。

また $\sum_{k = 1}^{n} T_{k} = \sum_{k = 1}^{n} (S - a_{k}) = n S - S = (n - 1) S$ であるから $S = \frac{T _{1} + T _{2} + \dots + T _{n}}{n - 1}$ である。

さらに $a_{1} ≦ a_{2} ≦ \dots ≦ a_{n}$ より、 $T_{k} = S - a_{k}$ は逆順に並ぶので $T_{1} ≧ T_{2} ≧ \dots ≧ T_{n}$ である。

まず最大の項 $a_{n}$ を評価する。

a_{n} = S - T_{n} = \frac{T _{1} + \dots + T _{n}}{n - 1} - T_{n} = \frac{T _{1} + \dots + T _{n - 1} - ( n - 2 ) T _{n}}{n - 1} .

ここで $T_{1}, \dots, T_{n - 1} < 1$ であり、また $T_{n} > - 1$ だから $- T_{n} < 1$ である。したがって $T_{1} + \dots + T_{n - 1} - (n - 2) T_{n} < (n - 1) + (n - 2) = 2 n - 3$ となる。よって $a_{n} < \frac{2 n - 3}{n - 1} < 2$ である。

次に最小の項 $a_{1}$ を評価する。

a_{1} = S - T_{1} = \frac{T _{2} + \dots + T _{n} - ( n - 2 ) T _{1}}{n - 1} .

ここで $T_{2}, \dots, T_{n} > - 1$ であり、また $T_{1} < 1$ だから $- (n - 2) T_{1} > - (n - 2)$ である。したがって $T_{2} + \dots + T_{n} - (n - 2) T_{1} > - (n - 1) - (n - 2) = - (2 n - 3)$ となる。よって $a_{1} > - \frac{2 n - 3}{n - 1} > - 2$ である。

以上から、任意の $k$ について $- 2 < a_{1} ≦ a_{k} ≦ a_{n} < 2$ である。したがって $∣ a_{k} ∣ < 2 (k = 1, 2, \dots, n)$ が成り立つ。

京都大学 2001年度文系数学 第4問

問題

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文系数学第4問