京都大学 2001年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面内の相異なる4点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ とベクトル $v$ に対し， $k \neq = m$ のとき $P_{k} P_{m} \cdot v \neq = 0$ が成り立っているとする．このとき， $k$ と異なるすべての $m$ に対し $P_{k} P_{m} \cdot v < 0$ が成り立つような点 $P_{k}$ が存在することを示せ．

出典：京都大学 2001年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

各点をベクトル $v$ の方向に射影した値 $t_{k} = O P_{k} \cdot v$ を考える。仮定 $P_{k} P_{m} \cdot v \neq = 0$ は、これら4つの射影値がすべて相異なることを意味する。最大の射影値をもつ点を選べば、そこから他の点へ向かうベクトルの $v$ 方向成分はすべて負になる。

解答

原点 $O$ を1つ固定し、各点について $t_{k} = O P_{k} \cdot v (k = 1, 2, 3, 4)$ とおく。 $k \neq = m$ のとき、 $P_{k} P_{m} = O P_{m} - O P_{k}$ であるから

P_{k} P_{m} \cdot v = (O P_{m} - O P_{k}) \cdot v = t_{m} - t_{k}

である。

仮定より $P_{k} P_{m} \cdot v \neq = 0$ なので $t_{m} - t_{k} \neq = 0$ である。したがって $t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}$ はすべて相異なる。

この4つの実数のうち最大のものを $t_{k}$ とする。このとき $m \neq = k$ なら $t_{m} < t_{k}$ であるから $P_{k} P_{m} \cdot v = t_{m} - t_{k} < 0$ が成り立つ。

よって、条件を満たす点 $P_{k}$ が存在する。

別解。 $v$ に垂直な直線を考えると、各点は $v$ 方向の高さで順序づけられる。仮定は2点が同じ高さにないことを意味するので、最も高い点を選べば、そこから他の点へ向かうベクトルはすべて $v$ 方向には下向きになる。これを内積で書いたものが上の証明である。

京都大学 2001年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

京都大学 2001年度
文系数学第2問