京都大学 2001年度
文系数学 第1問

解答

虚軸上の複素数を解にもつとする。そこで $x=ti(t\text{ は実数})$ とおく。

このとき $x^2=-t^2,x^3=-t^{3}i,x^4=t^4$ である。これを方程式 $x^4-x^3+x^2-(a+2)x-a-3=0$ に代入すると $t^4+t^{3}i-t^2-(a+2)ti-a-3=0$ である。したがって実部と虚部を比較して $t^4-t^2-a-3=0$ および $t^3-(a+2)t=0$ を得る。後者は $t(t^2-a-2)=0$ である。

まず $t=0$ の場合、実部の式は $-a-3=0$ となるので $a=-3$ である。実際、このとき $x=0$ は方程式の解である。

次に $t\ne 0$ とする。このとき $t^2-a-2=0$ より $a=t^2-2$ である。これを実部の式に代入すると $t^4-t^2-(t^2-2)-3=0$ すなわち $t^4-2t^2-1=0$ である。 $u=t^2$ とおくと $u\geqq 0$ であり、$u^2-2u-1=0$ を満たす。したがって $u=1\pm \sqrt{2}$ であるが、$1-\sqrt{2}<0$ は $u=t^2\geqq 0$ に反する。よって $u=1+\sqrt{2}$ である。このとき $a=t^2-2=u-2=\sqrt{2}-1$ である。

以上より、求める実数 $a$ は $a=-3,\sqrt{2}-1$ である。

別解。実係数方程式なので、非零の純虚数解 $ti$ をもつなら $-ti$ も解である。したがって非零純虚数解の場合は $x^2+t^2$ が多項式を割ると考えられる。実際に $x=ti$ を代入して実部・虚部を比べる上の方法は、この因数条件を係数で書いたものになっている。