京都大学 2001年度文系数学第3問解答・解説

問題

任意の整数 $n$ に対し， $n^{9} - n^{3}$ は9で割り切れることを示せ．

出典：京都大学 2001年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

$n^{9} - n^{3} = n^{3} (n^{6} - 1)$ と因数分解する。 $n$ が3の倍数なら $n^{3}$ が9の倍数である。3の倍数でないときは、 $n$ の9での余りが $1, 2, 4, 5, 7, 8$ のいずれかであり、いずれも3乗すると $\pm 1$ になることから $n^{6} \equiv 1 (mod 9)$ を得る。

解答

まず $n^{9} - n^{3} = n^{3} (n^{6} - 1)$ である。

場合1：

$n$ が3で割り切れる場合。このとき $n = 3 r$ と書けるので $n^{3} = 27 r^{3}$ であり、 $n^{3}$ は9で割り切れる。したがって $n^{3} (n^{6} - 1)$ も9で割り切れる。

場合2：

$n$ が3で割り切れない場合。このとき、 $n$ を9で割った余りは $1, 2, 4, 5, 7, 8$ のいずれかである。それぞれ3乗を9で見ると $1^{3} \equiv 1, 2^{3} \equiv 8 \equiv - 1, 4^{3} \equiv 64 \equiv 1,$

5^{3} \equiv 125 \equiv - 1, 7^{3} \equiv 343 \equiv 1, 8^{3} \equiv 512 \equiv - 1 (mod 9)

である。したがって $n^{3} \equiv 1 または n^{3} \equiv - 1 (mod 9)$ であり、いずれの場合も $n^{6} \equiv 1 (mod 9)$ となる。よって $n^{6} - 1 \equiv 0 (mod 9)$ なので、 $n^{3} (n^{6} - 1)$ は9で割り切れる。

以上より、任意の整数 $n$ に対して $n^{9} - n^{3} は 9 で割り切れる$ ことが示された。

別解。3で割り切れない整数 $n$ については、 $n \equiv \pm 1, \pm 2, \pm 4 (mod 9)$ と見ればよい。これらの3乗はいずれも $\pm 1 (mod 9)$ になるため、同じく $n^{6} \equiv 1 (mod 9)$ が従う。

京都大学 2001年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

場合1：

場合2：

京都大学 2001年度
文系数学第3問