京都大学 2000年度理系数学第6問解答・解説

問題

$n$ ， $k$ は整数で， $n ≧ 2$ ， $0 ≦ k ≦ 4$ とする．サイコロを $n$ 回投げて出た目の和を5で割ったときの余りが $k$ に等しくなる確率を $p_{n} (k)$ とする．

(1) $p_{n + 1} (0), \dots, p_{n + 1} (4)$ を $p_{n} (0), \dots, p_{n} (4)$ を用いて表せ．

(2) $p_{n} (0), \dots, p_{n} (4)$ の最大値を $M_{n}$ ，最小値を $m_{n}$ とするとき次の(イ)，(ロ)が成立することを示せ．

(イ) $m_{n} ≦ \frac{1}{5} ≦ M_{n}$ ．

(ロ) 任意の $k$ ， $l$ $(0 ≦ k, l ≦ 4)$ に対し $p_{n + 1} (k) - p_{n + 1} (l) ≦ \frac{1}{6} (M_{n} - m_{n})$ ．

(3) $n \to \infty lim p_{n} (k)$ を求めよ．

出典：京都大学 2000年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

出目を5で割った余りで分類する。サイコロの目 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ は余り $1, 2, 3, 4, 0, 1$ なので、余り1だけが2通りある。このため $p_{n + 1} (k)$ は全確率の和1に $p_{n} (k - 1)$ を余分に足した形で $(1 + p_{n} (k - 1)) /6$ と書ける。最大値と最小値については、平均が $1/5$ であることと、差が次の回で6分の1以下に縮むことを示す。最後は $M_{n} - m_{n} \to 0$ と全確率の和1から各 $p_{n} (k)$ の極限を決める。

解答

(1)

以下、添字は5で割った余りとして読むことにする。サイコロの目 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ を5で割った余りは $1, 2, 3, 4, 0, 1$ である。したがって、和の余りが $k$ になるには、直前の余りがそれぞれ $k - 1, k - 2, k - 3, k - 4, k, k - 1$ であればよい。よって $p_{n + 1} (k) = \frac{2 p _{n} ( k - 1 ) + p _{n} ( k - 2 ) + p _{n} ( k - 3 ) + p _{n} ( k - 4 ) + p _{n} ( k )}{6}$ である。

また $p_{n} (0) + p_{n} (1) + p_{n} (2) + p_{n} (3) + p_{n} (4) = 1$ であるから、上式は $p_{n + 1} (k) = \frac{1 + p _{n} ( k - 1 )}{6}$ とも書ける。具体的には

p_{n + 1} (0) p_{n + 1} (1) p_{n + 1} (2) p_{n + 1} (3) p_{n + 1} (4) = \frac{1 + p _{n} ( 4 )}{6}, = \frac{1 + p _{n} ( 0 )}{6}, = \frac{1 + p _{n} ( 1 )}{6}, = \frac{1 + p _{n} ( 2 )}{6}, = \frac{1 + p _{n} ( 3 )}{6}

である。

(2)

(イ)5つの確率の和は1であるから、その平均は $\frac{p _{n} ( 0 ) + p _{n} ( 1 ) + p _{n} ( 2 ) + p _{n} ( 3 ) + p _{n} ( 4 )}{5} = \frac{1}{5}$ である。最大値を $M_{n}$ 、最小値を $m_{n}$ とすれば、平均は最小値以上、最大値以下である。したがって $m_{n} ≦ \frac{1}{5} ≦ M_{n}$ である。

(ロ)

(1)の簡略形より、任意の $k, l$ に対して

p_{n + 1} (k) - p_{n + 1} (l) = \frac{1 + p _{n} ( k - 1 )}{6} - \frac{1 + p _{n} ( l - 1 )}{6} = \frac{p _{n} ( k - 1 ) - p _{n} ( l - 1 )}{6}

である。 $p_{n} (k - 1) ≦ M_{n}$ 、 $p_{n} (l - 1) ≧ m_{n}$ だから $p_{n} (k - 1) - p_{n} (l - 1) ≦ M_{n} - m_{n}$ である。よって $p_{n + 1} (k) - p_{n + 1} (l) ≦ \frac{1}{6} (M_{n} - m_{n})$ が成り立つ。

(3)

$p_{n + 1} (k)$ の最大値をとる添字を $k_{0}$ 、最小値をとる添字を $l_{0}$ とする。(2)(ロ)をこの $k_{0}, l_{0}$ に適用すると $M_{n + 1} - m_{n + 1} = p_{n + 1} (k_{0}) - p_{n + 1} (l_{0}) ≦ \frac{1}{6} (M_{n} - m_{n})$ である。したがって $0 ≦ M_{n} - m_{n} ≦ (\frac{1}{6})^{n - 2} (M_{2} - m_{2})$ となり、 $M_{n} - m_{n} \to 0$ である。

常に $m_{n} ≦ p_{n} (k) ≦ M_{n}$ であり、また(2)(イ)より $m_{n} ≦ \frac{1}{5} ≦ M_{n}$ である。 $M_{n} - m_{n} \to 0$ だから、はさみうちにより $p_{n} (k) \to \frac{1}{5}$ である。よって $lim_{n \to \infty} p_{n} (k) = \frac{1}{5}$ である。

別解。(3)は偏差を直接追ってもよい。(1)より

p_{n + 1} (k) - \frac{1}{5} = \frac{1 + p _{n} ( k - 1 )}{6} - \frac{1}{5} = \frac{p _{n} ( k - 1 ) - 1/5}{6}

である。したがって、1回進むごとに $1/5$ からのずれは、添字が1つずれて大きさが6分の1になる。これを繰り返すと、各 $k$ について

p_{n} (k) - \frac{1}{5} ≦ (\frac{1}{6})^{n - 2} 0 ≦ j ≦ 4 max p_{2} (j) - \frac{1}{5}

である。右辺は0に近づくので、やはり $p_{n} (k) \to 1/5$ が従う。

京都大学 2000年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(ロ)

(3)

京都大学 2000年度
理系数学第6問