京都大学 2000年度理系数学第3問解答・解説

問題

$a = (1, 0, 0)$ ， $b = (cos \frac{π}{3}, sin \frac{π}{3}, 0)$ とする．

(1) 長さ1の空間ベクトル $c$ に対し， $cos α = a \cdot c$ ， $cos β = b \cdot c$ とおく．このとき次の不等式(＊)が成り立つことを示せ．

(＊) $cos^{2} α - cos α cos β + cos^{2} β ≦ \frac{3}{4}$

(2) 不等式(＊)を満たす $(α, β)$ $(0 ≦ α ≦ π, 0 ≦ β ≦ π)$ の範囲を図示せよ．

出典：京都大学 2000年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

文系第3問と同じ構造で、 $c = (x, y, z)$ とおき、 $cos α = x$ 、 $cos β = (x + 3 y) /2$ を代入する。左辺が $3 (x^{2} + y^{2}) /4$ にまとまるので、 $∣ c ∣ = 1$ から(1)が出る。(2)は $X = cos α$ 、 $Y = cos β$ の領域を、ラジアン表記の $α β$ 平面へ戻す。 $0 ≦ α, β ≦ π$ で $cos$ が単調減少するため、境界は4本の直線になる。

解答

(1)

$c = (x, y, z)$ とおく。 $∣ c ∣ = 1$ であるから $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ である。 $a = (1, 0, 0), b = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0)$ なので $cos α = a \cdot c = x$ であり、 $cos β = b \cdot c = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} y$ である。これを左辺に代入すると

cos^{2} α - cos α cos β + cos^{2} β = x^{2} - x (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2} y) + (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2} y)^{2} = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{4} y^{2} = \frac{3}{4} (x^{2} + y^{2})

である。 $x^{2} + y^{2} ≦ 1$ だから $cos^{2} α - cos α cos β + cos^{2} β ≦ \frac{3}{4}$ が成り立つ。

(2)

$X = cos α, Y = cos β$ とおくと、不等式は $X^{2} - X Y + Y^{2} ≦ \frac{3}{4}$ である。 $0 ≦ α, β ≦ π$ なので $- 1 ≦ X, Y ≦ 1$ である。

固定した $α$ に対し、 $Y$ について解くと $Y^{2} - (cos α) Y + cos^{2} α - \frac{3}{4} ≦ 0$ である。判別式は $3 sin^{2} α$ であり、 $0 ≦ α ≦ π$ では $sin α ≧ 0$ である。よって

\frac{cos α - 3 sin α}{2} ≦ cos β ≦ \frac{cos α + 3 sin α}{2}

である。三角関数の加法定理より、これは

cos (α + \frac{π}{3}) ≦ cos β ≦ cos (α - \frac{π}{3})

である。 $0 ≦ β ≦ π$ で $cos β$ は単調減少する。したがって図示すべき範囲は

α - \frac{π}{3} ≦ β ≦ ⎩ ⎨ ⎧ α + \frac{π}{3} \frac{5 π}{3} - α (0 ≦ α ≦ \frac{2 π}{3}), (\frac{2 π}{3} ≦ α ≦ π)

である。したがって $α β$ 平面では、4直線

β = \frac{π}{3} - α, β = α - \frac{π}{3}, β = α + \frac{π}{3}, β = \frac{5 π}{3} - α

で囲まれる部分を描けばよい。頂点は

(0, \frac{π}{3}), (\frac{π}{3}, 0), (π, \frac{2 π}{3}), (\frac{2 π}{3}, π)

である。

京都大学 2000年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2000年度
理系数学第3問