京都大学 2000年度
理系数学 第2問

解答

(1)

$t=\sqrt{x}(t\geqq 0)$ とおく。すると共有点をもつ条件は $t=\frac{2}{a}{t}^2+1-\frac{1}{a}$ を満たす $t\geqq 0$ が存在することである。両辺に $a$ をかけて整理すると $2t^2-at+a-1=0$ である。

この2次方程式の判別式は $D_1=a^2-8(a-1)=a^2-8a+8$ である。$0<a\leqq 2$ の範囲で $a^2-8a+8\geqq 0$ となるのは $0<a\leqq 4-2\sqrt{2}$ である。

この範囲では、方程式の解が $t\geqq 0$ に存在することも確認しておく。解の和は $a/2>0$ である。$0<a<1$ なら解の積 $(a-1)/2<0$ なので正の解を1つもつ。$1\leqq a\leqq 4-2\sqrt{2}$ なら解の積は非負で、解の和は正であるから、実数解はともに非負である。したがって求める範囲は $0<a\leqq 4-2\sqrt{2}$ である。

(2)

与えられた方程式を展開する。 $(2x+a-1{)}^2=a^{2}x$ より $4x^2+4(a-1)x+(a-1{)}^2-a^{2}x=0$ である。$4(a-1)-a^2=-(a-2{)}^2$ だから $4x^2-(a-2{)}^{2}x+(a-1{)}^2=0$ となる。この方程式の判別式は $D_2=(a-2{)}^4-16(a-1{)}^2=a^2(a^2-8a+8)$ である。 $a_0=4-2\sqrt{2}$ とおく。$0<a\leqq a_0$ では $D_2\geqq 0$ であり、2解は実数である。このとき2解の和は $\alpha +\beta =\frac{(a-2{)}^2}{4}$ で、積は $\alpha \beta =\frac{(a-1{)}^2}{4}\geqq 0$ であるから、2解はともに非負である。$|\alpha |\leqq |\beta |$ なので $|\beta |$ は大きい方の解であり、少なくとも2解の平均以上である。よって $|\beta |\geqq \frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{(a-2{)}^2}{8}$ である。$0<a\leqq a_0<2$ だから $(2-a{)}^2\geqq (2-a_0{)}^2$ であり、したがって

である。

一方、$a_0<a\leqq 2$ では $D_2<0$ であり、2解は共役な虚数である。したがって2解の絶対値は等しく、積の絶対値から $|\alpha |=|\beta |=\sqrt{\left|\frac{(a-1{)}^2}{4}\right|}=\frac{|a-1|}{2}$ である。ここで $a_0=4-2\sqrt{2}>1$ なので、この範囲では $|\beta |=\frac{a-1}{2}>\frac{a_0-1}{2}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$ である。

最後に $a=a_0$ のときは判別式が0で、2解は重解である。このとき $|\beta |=\frac{(a_0-2{)}^2}{8}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$ となる。よって $|\beta |$ の最小値は $\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$ である。