京都大学 2000年度理系数学第5問解答・解説

問題

数列 ${c_{n}}$ を次の式で定める．

c_{n} = (n + 1) \int_{0}^{1} x^{n} cos π x d x (n = 1, 2, \dots)

このとき

(1) $c_{n}$ と $c_{n + 2}$ の関係を求めよ．

(2) $n \to \infty lim c_{n}$ を求めよ．

(3) (2)で求めた極限値を $c$ とするとき， $n \to \infty lim \frac{c _{n + 1} - c}{c _{n} - c}$ を求めよ．

出典：京都大学 2000年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

$I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} cos π x d x$ とおき、部分積分を2回行って $I_{n + 2}$ を $I_{n}$ で表す。 $c_{n} = (n + 1) I_{n}$ に戻せば(1)が得られる。(2)は、重み $(n + 1) x^{n}$ が $x = 1$ 付近に集中することを示し、連続関数 $cos π x$ の端点値 $- 1$ に収束させる。(3)は $d_{n} = c_{n} + 1$ として、 $1 + cos π x = 1 - cos {π (1 - x)}$ が $(1 - x)^{2}$ と同じ大きさで0に近づくことを、 $sin u / u \to 1$ から評価し、 $d_{n}$ の主項を求める。

解答

(1)

$I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} cos π x d x$ とおく。まず $I_{n + 2} = \int_{0}^{1} x^{n + 2} cos π x d x$ を部分積分する。 $sin π x$ は $x = 0, 1$ で0だから

I_{n + 2} = [\frac{x ^{n + 2} sin π x}{π}]_{0}^{1} - \frac{n + 2}{π} \int_{0}^{1} x^{n + 1} sin π x d x = - \frac{n + 2}{π} \int_{0}^{1} x^{n + 1} sin π x d x

である。さらに

\int_{0}^{1} x^{n + 1} sin π x d x = [- \frac{x ^{n + 1} cos π x}{π}]_{0}^{1} + \frac{n + 1}{π} \int_{0}^{1} x^{n} cos π x d x = \frac{1}{π} + \frac{n + 1}{π} I_{n}

である。したがって $I_{n + 2} = - \frac{n + 2}{π ^{2}} - \frac{( n + 2 ) ( n + 1 )}{π ^{2}} I_{n}$ となる。 $c_{n} = (n + 1) I_{n}$ 、 $c_{n + 2} = (n + 3) I_{n + 2}$ であるから

c_{n + 2} = (n + 3) {- \frac{n + 2}{π ^{2}} - \frac{( n + 2 ) ( n + 1 )}{π ^{2}} I_{n}} = - \frac{( n + 2 ) ( n + 3 )}{π ^{2}} {1 + (n + 1) I_{n}} = - \frac{( n + 2 ) ( n + 3 )}{π ^{2}} (1 + c_{n})

である。よって $c_{n + 2} = - \frac{( n + 2 ) ( n + 3 )}{π ^{2}} (1 + c_{n})$ が求める関係である。

(2)

次の事実を用いる。 $φ (x)$ が $[0, 1]$ で連続なら $(n + 1) \int_{0}^{1} x^{n} φ (x) d x \to φ (1)$ である。理由を確認する。 $0 < δ < 1$ とすると、 $0 ≦ x ≦ 1 - δ$ では $x^{n} ≦ (1 - δ)^{n}$ なので、この部分の寄与は $n (1 - δ)^{n}$ の定数倍で0に近づく。一方、 $1 - δ ≦ x ≦ 1$ では、 $δ$ を十分小さく取れば $φ (x)$ は $φ (1)$ にいくらでも近くなる。また $(n + 1) \int_{0}^{1} x^{n} d x = 1$ であるから、上の収束が従う。

ここで $φ (x) = cos π x$ とすれば $φ (1) = - 1$ である。したがって

n \to \infty lim c_{n} = n \to \infty lim (n + 1) \int_{0}^{1} x^{n} cos π x d x = - 1

である。よって $c = - 1$ である。

(3)

$d_{n} = c_{n} + 1$ とおく。(2)より $d_{n} \to 0$ であり、求める極限は $lim_{n \to \infty} \frac{d _{n + 1}}{d _{n}}$ である。また $d_{n} = (n + 1) \int_{0}^{1} x^{n} (1 + cos π x) d x$ である。 $x$ が1に近いときの $1 + cos π x$ を調べる。 $1 + cos π x = 1 - cos {π (1 - x)} = 2 sin^{2} (\frac{π ( 1 - x )}{2})$ である。 $u \to 0$ のとき $sin u / u \to 1$ だから $lim_{x \to 1} \frac{1 + c o s π x}{( 1 - x ) ^{2}} = \frac{π ^{2}}{2}$ である。

したがって、任意の正数 $ε$ に対し、 $x$ が十分1に近ければ

(\frac{π ^{2}}{2} - ε) (1 - x)^{2} ≦ 1 + cos π x ≦ (\frac{π ^{2}}{2} + ε) (1 - x)^{2}

が成り立つ。1から離れた範囲 $0 ≦ x ≦ 1 - δ$ の積分は、 $(1 - δ)^{n}$ の定数倍で抑えられ、下の量 $(n + 1) \int_{0}^{1} x^{n} (1 - x)^{2} d x$ に比べても0に近づく。実際、後者は

(n + 1) \int_{0}^{1} x^{n} (1 - x)^{2} d x = (n + 1) (\frac{1}{n + 1} - \frac{2}{n + 2} + \frac{1}{n + 3}) = \frac{2}{( n + 2 ) ( n + 3 )}

であるから、指数的に小さい項は無視できる。

以上より $\frac{d _{n}}{( n + 1 ) \int _{0}^{1} x ^{n} ( 1 - x ) ^{2} d x} \to \frac{π ^{2}}{2}$ である。すなわち

d_{n} \sim \frac{π ^{2}}{2} \cdot \frac{2}{( n + 2 ) ( n + 3 )} = \frac{π ^{2}}{( n + 2 ) ( n + 3 )}

である。したがって $\frac{d _{n + 1}}{d _{n}} \to \frac{( n + 2 ) ( n + 3 )}{( n + 3 ) ( n + 4 )} \to 1$ である。

よって $lim_{n \to \infty} \frac{c _{n + 1} - c}{c _{n} - c} = 1$ である。

京都大学 2000年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

京都大学 2000年度
理系数学第5問