問題
平面において座標軸に平行な直線および で表される道路網がある．原点からみて軸の正の方向が東，軸の正の方向が北であるものとする．との2人が同時にそれぞれ，から出発して道路を進む．の速さとの速さは等しく，両者は各交差点において独立に進行方向を次のように決める．
は確率で南，確率で西に進む．
は確率で北，確率で東に進む．
ただし，，とする．このとき
(1) 2人が出会う確率を求めよ．
(2) がの範囲で与えられたとき，が最大となるの値，およびその最大値をを用いて表せ．
出典：京都大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第5問
方針
二人の座標和を時刻で追い、出会えるのは出発2単位時間後だけと分かる。その時点の南進回数と北進回数を二項分布で数え、得られた の二次式を区間上で最大化する。
解答
(1)
出発後 単位時間において、 の座標和は 、 の座標和は である。従って二人が出会えるのは
すなわち のときだけである。
最初の2回で が南へ進む回数を 、 が北へ進む回数を とする。時刻2での座標は
なので、出会う条件は である。独立性より
(2)
を の二次関数とみる。端点では
であり、 では である。
二次係数を
とする。放物線が上に凸の場合、最大値は端点 でとる。下に凸の場合の頂点は
この頂点が区間 に入るのは のときである。実際、 は で起こり、 では となる。
従って、最大にする と最大値 は
である。 では二つの式はいずれも を与える。