京都大学 2000年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

関数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ は次の条件(イ)，(ロ)を満たしている．

(イ) $y = f (x)$ のグラフは，点 $(0, 1)$ に関して点対称である．

(ロ) $y = f (x)$ は相異なる2つの極値をもち，2つの極値の差の絶対値は4に等しい．

このとき

(1) $y = f (x)$ のグラフは $x$ 軸と相異なる3点で交わることを示せ．

(2) (1)における3点の $x$ 座標を $α$ ， $β$ ， $γ$ (ただし $α < β < γ$ とする)とおくとき， $f (\frac{- β - γ}{2}) > 2$ を示せ．

出典：京都大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

点対称条件から偶数次項と定数項を決める。極値差から残る係数を決定して $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ とし、増減と解の和を用いる。

点 $(0, 1)$ に関して点対称であるから

f (x) + f (- x) = 2

がすべての $x$ で成り立つ。従って

2 a x^{2} + 2 c = 2

より

a = 0, c = 1.

よって $f (x) = x^{3} + b x + 1$ である。

相異なる二つの極値をもつので $b < 0$ である。

s = - \frac{b}{3} > 0

とおくと、極値をとる点は $x = \pm s$ であり、 $b = - 3 s^{2}$ だから

f (- s) = 1 + 2 s^{3}, f (s) = 1 - 2 s^{3} .

極値の差が4なので

4 s^{3} = 4.

従って $s = 1, b = - 3$ であり

f (x) = x^{3} - 3 x + 1

と決まる。

f (- 1) = 3 > 0, f (1) = - 1 < 0.

また $x \to - \infty$ で $f (x) \to - \infty$ 、 $x \to \infty$ で $f (x) \to \infty$ である。さらに $f$ は

(- \infty, - 1), (- 1, 1), (1, \infty)

でそれぞれ単調であるから、各区間にちょうど一つずつ零点をもつ。従ってグラフは $x$ 軸と相異なる3点で交わる。

三つの零点を $α < β < γ$ とする。 $x^{2}$ の係数が0なので、解と係数の関係より

α + β + γ = 0.

従って

\frac{- β - γ}{2} = \frac{α}{2} .

また

f (- 2) = - 1 < 0, f (- 1) = 3 > 0

より $- 2 < α < - 1$ である。 $f (α) = 0$ から

α^{3} = 3 α - 1

なので

f (\frac{α}{2}) = \frac{α ^{3}}{8} - \frac{3 α}{2} + 1 = \frac{7}{8} - \frac{9 α}{8} > 2,

最後は $α < - 1$ を用いた。ゆえに

f (\frac{- β - γ}{2}) > 2

である。